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相关试卷

1、命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 < 0$

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2、已知复数 $z = \frac{1 + i}{2 + i} - 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则z的虚部是（）

A、 $- \frac{9}{5}$ B、 $- \frac{9}{5} i$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{9}{5} i$

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3、已知集合 $A = \{x |{log}_{2} (2 x - 1) < 2\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} < 11\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |\frac{1}{2} < x < \sqrt{11}\}$ B、 $\{x |\frac{5}{2} < x < \sqrt{11}\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $P (2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x + 2$ 被曲线 $C$ 所截的弦长为 $\frac{48}{7}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若点 $A$ 为曲线 $C$ 的右顶点，过点 $G (t, 0)$ （不同于点 $A$ ）且斜率不为0的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $M, N$ 两点（点 $M$ 在 $G, N$ 之间），若点 $H$ 为线段 $M N$ 上的点，满足 $|G M| |H N| = |G N| |H M|$ ，且 $∠ N H A = 2 ∠ N G A$ ，求 $t$ 的值.

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5、已知圆 $C$ 经过点 $(0, 2)$ ，且与圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 = 0$ 相切于点 $(- 2, 0)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(4, 0)$ .
①证明： $∠ C M A = ∠ C M B$ ；
②求 $△ M A B$ 外接圆圆心 $Q$ 的轨迹方程.

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6、如图， $P A ⊥$ 矩形 $A B C D$ 所在的平面，点 $N$ 是 $A B$ 的中点，点 $M$ 是线段 $P C$ 上的一个动点，且 $P A = A B = 2 A D = 2$ .

(1)、若点 $M$ 是线段 $P C$ 的中点，证明： $M N ⊥ C D$ ；

(2)、当三棱锥 $M - A B C$ 的体积是三棱锥 $P - M A B$ 的体积的2倍时，求平面 $P A B$ 和平面 $M A B$ 夹角的余弦值.

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7、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a = c \sin B + \sqrt{3} c \cos B$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小：

(2)、若 $c = 4$ ， $a + b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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8、已知直线 $l_{1} : x - 2 y + 3 = 0, l_{2} : 3 x + 2 y - 7 = 0$ .

(1)、求经过点 $A (1, 4)$ 且与直线 $l_{1}$ 垂直的直线方程；

(2)、求经过直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程.

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9、三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，点 $M$ 为 $P G$ 的中点，过点 $M$ 的平面分别交 $P A, P B, P C$ 于点 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ ，且 $\vec{P A} = x \vec{P A^{'}}, \vec{P B} = y \vec{P B^{'}}, \vec{P C} = z \vec{P C^{'}}$ ，且 $x > 0, y > 0$ ， $z > 0$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ 的最小值为．

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10、如图， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{5} - y^{2} = 1$ 的公共焦点，A、B分别是 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 在第二、四象限的公共点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 为矩形，则 $C_{1}$ 的离心率是.

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11、记双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .若 $F_{2} (2, 0)$ ，以 $F_{1}$ 为圆心､4为半径的圆与 $E$ 的右支交于 $P, Q$ 两点，点 $M$ 为 $E$ 上一点，满足 $F_{1} M ⊥ F_{2} M$ ，则（）

A、离心率 $e = 2$ B、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ C、 $|M P| - |M Q| < 4$ D、 $cos ∠ P F_{1} Q = \frac{17}{32}$

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12、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（）

A、 $A D ⊥ D C_{1}$ B、 $B C_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ C、 $V_{D - A B_{1} A_{1}} = \frac{1}{12}$ D、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球表面积为 $\frac{7}{3} π$

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13、下列说法正确的是（）

A、已知一组数据 $1, 2, 3, 3, 4, 5$ 的众数大于中位数 B、用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体 $m$ 被抽到的概率是0.1 C、甲乙丙三种个体按 $3 : 1 : 2$ 的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 D、数据 $12, 14, 15, 17, 19, 23, 27, 30$ 的第70百分位数是21

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14、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，若圆 $C : {(x - a + 1)}^{2} + {(y - a - 2)}^{2} = 1$ 上存在点 $M$ 满足 $|\vec{M A} + \vec{M B}| = 4$ ，则实数 $a$ 的最小值为（）

A、－3 B、－2 C、0 D、1

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15、已知直线 $l : x - y + 3 = 0$ 与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 交于A，B两点，点 $P (1, 4)$ 是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm 4 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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16、已知 $α \in (0, π), tan α = \frac{4}{3}$ ，则 $sin (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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17、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{m - 2} + \frac{y^{2}}{6 - m} = 1$ ，设 $p : 2 < m < 6$ ， $q :$ 曲线 $C$ 是焦点在坐标轴上的椭圆，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用 $α$ 粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望 $α$ 粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分 $α$ 粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的 $α$ 粒子遵循双曲线一支的路径，如果 $α$ 粒子的路径经过点 $(20, 10)$ ，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ B、 $10 \sqrt{2}$ C、10 D、11

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19、两条平行直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 2 = 0$ 与 $l_{2} : 6 x - 8 y + 9 = 0$ 间的距离为（）

A、 $1$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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20、某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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