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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C, G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $A_{1} G ⊥$ 平面 $A B C, B C = 6$ ，记二面角 $A - B C - A_{1}$ 与 $A - B C - C_{1}$ 的大小分别为 $α, β$ .

(1)、当 $A A_{1} = 4$ 时， $A B = A C$ 时.
（i）证明： $A_{1} B = A_{1} C$ ；
（ii）求 $cos (β - α)$ ；

(2)、若 $β = 2 α$ ，求 $A A_{1}$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = a^{x} + 4^{x} (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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3、已知 $A, B$ 分别是 $x$ 轴， $y$ 轴上的动点， $|A B| = 1$ ，若点 $P$ 满足 $\vec{P B} = 2 \vec{P A}$ ，记 $P$ 的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、 $C$ 是 $Γ$ 上一点，若 $\vec{O C} \cdot \vec{O P} = - 2$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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4、某企业前8个月月底的盈利金额 $y$ （万元）与月份 $x$ 之间的关系如下表所示：
$x$
1
2
3
4
5
6
7
8
$y$
1.95
2.92
4.38
6.58
9.87
15.00
22.50
33.70

(1)、用 $y = e^{b x + a}$ 模拟 $y$ 与 $x$ 的关系，求出回归方程；

(2)、根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？
附：① $\bar{y} = 12.1, \bar{ln y} = 2.1, \sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 613.7, \sum_{i = 1}^{8} x_{i} ln y_{i} = 92.4, \sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 204$ ；
② $ln 2 \approx 0.69, ln 3 \approx 1.10, ln 5 \approx 1.61$ ；
③回归直线 $u = \hat{b} v + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} u_{i} - n \bar{v} \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}, \hat{a} = \bar{u} - \hat{b} \bar{v}$ .

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5、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $E : x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1 (b > 0)$ 的左､右焦点， $P, Q, R$ 在 $E$ 上，其中 $Q$ 在第一象限， $R$ 在第二象限，直线 $P Q$ 过 $F_{1}$ ，且 $F_{2}, R$ 关于直线 $P Q$ 对称，则四边形 $P R Q F_{2}$ 的面积为.

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6、从1至8的8个整数中随机取2个不同的数组成一个两位数，则该数能被3整除的概率为.

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7、记 $q$ 为正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比，若 $a_{3} = a_{1} a_{2}, a_{2} - a_{1} = 20$ ，则 $q =$ .

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8、已知函数 $f (x) = |sin ω x| + ω cos 2 ω x$ ，则（）

A、对于任意的 $ω, f (x)$ 均为偶函数 B、当 $ω = 1$ 时， $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、当 $ω ⩽ 1$ 时， $f (x) ⩾ 0$ D、当 $ω > 1$ 时， $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{ω}, \frac{8 π}{ω})$ 上有12个零点

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9、设 $a + b = 1$ ，则函数 $f (x) = {(x + sin a)}^{2} + {(x + sin b)}^{2}$ 的极小值点可能是（）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（）

A、平均数为4，中位数为5 B、平均数为4，众数为3 C、平均数为4，方差为1.6 D、平均数为5，标准差为2

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11、如图，一个体积为1的四面体 $A B C D$ 靠在一个足够大的正方体容器中（厚度不计），点 $A$ 在底面上，现向该正方体缓慢注水，已知液面经过 $B, C, D$ 时的高度分别为 $h, 2 h, 3 h$ ，每次经过四面体顶点时的液面将该四面体分割成的三部分几何体中，表面积最大的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12、记抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的准线为 $l$ ，焦点为 $F, A, B$ 为 $E$ 上两点，直线 $A B$ 过 $F$ ，点 $C$ 在 $l$ 上，若 $\vec{A F} = \frac{12}{5} \vec{B C}$ ，设 $O$ 为坐标原点，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、 $\frac{9}{2}$

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13、在 $△ A B C$ 中， $cos A = \frac{1}{3}$ ，记 $A D$ 为 $B C$ 边上的高，若 $A D = \frac{\sqrt{2}}{4} B C$ ，则 $cos (B - C) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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14、已知 $P$ 是曲线 $y = x^{3}$ 上一点， $Q (4, 0)$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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15、二项式 ${(x - 2)}^{7}$ 展开式中，系数最大值为（）

A、280 B、448 C、560 D、672

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16、在正六边形 $A B C D E F$ 中，若 $\vec{A E} = λ \vec{A C} + μ \vec{A F}$ ，则 $λ - μ =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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17、若 $\frac{z}{z + i} = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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18、记集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{4, 5, 6\}$ D、 $\{- 1, 0, 4, 5, 6\}$

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19、已知曲线 $C : |y| = \sqrt{x}$ ，点 $F_{0} (\frac{1}{4}, 0)$ ，曲线 $C$ 上一点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}) (x_{1} > \frac{1}{4}, y_{1} > 0)$ ，直线 $F_{0} P_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $P_{0}$ .按照如下方式依次构造点 $P_{2 k - 1}, P_{2 k}, P_{2 k + 1}, F_{2 k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ ，过 $P_{2 k - 1}$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $F_{2 k - 1}$ ，垂线与 $C$ 的另一个交点为 $P_{2 k}$ .作直线 $P_{2 k - 2} F_{2 k - 1}$ ，与 $C$ 的另一个交点为 $P_{2 k + 1}$ ，直线 $P_{2 k} P_{2 k + 1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $F_{2 k}$ .记 $P_{n} (x_{n}, y_{n}), F_{n} (m_{n}, 0), m_{1} = m, (n = 0, 1, 2, 3, \dots)$ .

(1)、若 $P_{1} (1, 1)$ ，求 $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ ；

(2)、求证：数列 $\{m_{n}\}$ 是等比数列，并用 $m$ 表示 $\{m_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、对任意的正整数 $k, △ P_{2 k - 2} P_{2 k - 1} F_{2 k - 1}$ 与 $△ F_{2 k - 1} P_{2 k} P_{2 k + 1}$ 的面积之比是否为定值？若是，请用 $m$ 表示该定值；若不是，请说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = ln \frac{x + 1}{1 - x} + a x^{3} - 2 x$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、对于点 $P (x_{0}, f (x_{0})), f (x)$ 在 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，若对任意 $x \in (- 1, 1)$ ，都有 $(x - x_{0}) [f (x) - g (x)] \geq 0$ ，则称 $P$ 为“好”点.当 $a = - \frac{2}{3}$ 时，求 $f (x)$ 的“好”点 $P$ .（只要求写出结果，不需说明理由）

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$x$	1	2	3	4	5	6	7	8
$y$	1.95	2.92	4.38	6.58	9.87	15.00	22.50	33.70