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相关试卷

1、已知平面直角坐标系 xOy 中， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ，设 C（3，4），则 $2 \vec{C A} + \vec{A B}$ 的取值范围是（）。

A、[6，14] B、[6，12] C、[8，14] D、[8，12]

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2、在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间 $T = k l o g_{2} N$ （单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从10⁶个单位增加到1.024×10⁹个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×10⁹个单位增加到4.096×10⁹个单位时，训练时间增加（单位：小时）（）

A、2 B、4 C、20 D、40

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3、设函数 $f (x) = s i n (ω x) + c o s (ω x) (ω > 0)$ ，若 $f (x + π) = f (x)$ 恒成立，且f（x）在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上存在零点，则 $ω$ 的最小值为（）。

A、8 B、6 C、4 D、3

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4、已知函数f（x）的定义域为D，则“函数f（x）的值域为R”是“对任意 $M \in R$ ，存在 $x_{0} \in D$ ，使得|f（x₀）|＞M”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知a>0，b>0，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{1}{a b}$ C、 $a + b > \sqrt{a b}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq \frac{2}{\sqrt{a b}}$

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6、已知 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，a₁=-2，若a₃ ， a₄ ， a₆成等比数列，则a₁₀=（）

A、-20 B、-18 C、16 D、18

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7、为得到函数y=9^x的图象，只需把函数y=3^x的图象上的所有点（）

A、横坐标变成原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 B、横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C、纵坐标变成原来的 $\frac{1}{3}$ 倍，横坐标不变 D、纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变

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8、双曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ 的离心率为（）。

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\sqrt{5}$

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9、已知复数z满足 $i \cdot z + 2 = 2 i$ ，则|z|=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、8

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10、集合 $M = {x | 2 x - 1 > 5}$ ， $N = {1, 2, 3}$ ，则 $M ∩ N$ =（）

A、{1，2，3} B、{2，3} C、{3} D、 $ϕ$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{\log_{2} b_{n}\}$ 都是等差数列，其前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 24$ ， $a_{5} + S_{5} = 40$ ， $b_{1} = a_{1}$ ， $T_{3} = a_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{{(- 1)}^{n} a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $P_{n}$ .

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12、小张同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包20000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的 $10 %$ ，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续．设第 $n$ 个月月底的投资总资金为 $a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、如果小张同学想在第二年过年的时候给爷爷买一台全身按摩椅（商场标价为41388元），将一年后投资总资金全部取出来是否足够？ $({1.1}^{11} \approx 2.85)$

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B // D C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A = A B = 2 D C = 2$ ， $M$ 是 $P B$ 的中点， $N$ 是 $P C$ 上的一点.

(1)、证明：平面 $A M D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若异面直线 $N A$ 和 $P B$ 垂直，求二面角 $N - M A - C$ 的正弦值.

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14、如图1，已知椭圆Γ的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和椭圆 $τ : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率．

(1)、求椭圆Γ的方程；

(2)、如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆 $Γ$ 于 $M$ ， N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积 $k_{N B} \cdot k_{M A}$ 为定值，求出这个定值；

(3)、在（2）的条件下，若 $A N / / B M$ ，且两条平行线的斜率为 $k (k > 0)$ 求正数k的值．

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15、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $(b + c) (\sin B - \sin C) = (a - c) \sin A$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，点 $D$ 是线段 $A B$ 的中点，点 $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $\vec{B E} = 2 \vec{E C}$ ，线段 $C D$ 与线段 $A E$ 交于点 $M$ ，若点 $G$ 是三角形 $△ A B C$ 的重心，则 $|\vec{G M}|$ 的最小值为.

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16、已知球O是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球， $M N$ 为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（）

A、当P为 $B_{1} C_{1}$ 中点时，直线 $D C_{1}$ 与 $D_{1} P$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、当三棱锥 $P - B_{1} C_{1} D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ 时，点P轨迹的长度为2 C、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值为 $- 2$ D、 $\vec{M N} \cdot \vec{B C_{1}}$ 的最大值为 $4 \sqrt{6}$

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17、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 $c + b = 2 a \cos B$ .则下列说法正确的是（）

A、 $A = 2 B$ B、角B的范围是 $(0, \frac{π}{4})$ C、若 $∠ B A C$ 的平分线交BC于D， $A D = 2$ ， $sin B = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}$ D、 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a ln x + x$ （）

A、若 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, 6]$ B、若 $f (x)$ 在 $(0, 2]$ 上存在单调递减区间，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, 6]$ C、当 $a = 2, f (x)$ 在区间 $[k - 1, k + 1]$ 上不单调，则实数 $k$ 的取值范围是 $(- 3, - 1) \cup (0, 2)$ D、若 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0, 2]$ ，则 $a = 6$ .

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19、已知函数 $f (x) = 3 (2 - m^{2}) x - m x^{3}$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，则m的值为（）

A、 $- 2$ B、1 C、 $- 2$ 或1 D、 $- 1$ 或2

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20、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示， $C^{'} B^{'} ⊥ x^{'}$ 轴， $C^{'} D^{'} ∥ y^{'}$ 轴， $C^{'} B^{'} = \sqrt{2}, A^{'} B^{'} = 5$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的原图形的面积为（）

A、5 B、10 C、 $10 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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