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相关试卷

1、已知原点为 $O$ ，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与直线 $l : x - y + 1 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，若直线 $O M$ 的斜率为 $- \frac{1}{4}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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2、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4} - 2$ 成等差数列，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、12 C、15 D、31

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3、袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率 $P =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、(多选)下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt[4]{{(3 - π)}^{4}} = π - 3$ B、 $e^{2 x} = {(e^{x})}^{2}$ C、 $\sqrt[3]{{(a - b)}^{3}} = a - b$ D、 $\sqrt{a b} =$ $\sqrt{a}$ · $\sqrt{b}$

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $3 a sin C = 4 c cos A$ ．

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围．

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6、已知函数 $f (x) = sin 2 x + a cos 2 x (a > 0)$ 的最大值为2．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 的对称轴方程和 $f (x)$ 的单调递增区间．

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7、已知复数 $z = (m^{2} + m - 6) + (m^{2} - m - 2) i, m > 0$ ．

(1)、若 $z \in R$ ，求 $|z + 2 i|$ 的值；

(2)、 $z$ 在复平面内对应的点能否位于直线 $y = x$ 上？若能，求 $(z - i) \cdot (\bar{z} + i)$ ；若不能，说明理由．

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8、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A F} = \vec{F C}, 2 \vec{B D} = \vec{B C}, E$ 为 $A D$ 上靠近点 $D$ 的三等分点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 分别表示 $\vec{A E}, \vec{B F}$ ；

(2)、证明： $B, E, F$ 三点共线．

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9、已知 $m > 0$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq m \\ - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{8}{3}, x > m \end{array}$ 的值域为 $(- \infty, 2^{m}]$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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10、已知正数 $x, y$ 满足 $2 x + 4 y = 1$ ，则当 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 取得最小值时， $x =$ ， $y =$ ．

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11、当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度 $A$ 和透光率 $T$ 来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为 $A = - lg T = lg \frac{I_{0}}{I}$ ，其中， $A$ 是吸光度， $T$ 为透光率， $I_{0}$ 为入射光强度， $I$ 为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率：
有机高分子材料
塑料
纤维
薄膜
T
0.6
0.7
0.8
设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ，则（）

A、 $A_{1} < 2 A_{2}$ B、 $A_{2} + A_{3} < A_{1}$ C、 $A_{1} + A_{3} > 2 A_{2}$ D、 $A_{1} A_{3} > A_{2}^{2}$

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12、已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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13、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, D$ 为 $B C$ 上一点，且 $A D sin ∠ A D B = c sin C, a - b = 1$ ． $cos A = \frac{7}{25}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、8 B、9 C、12 D、14

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14、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足对任意实数 $x, y$ 都有 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 1$ ，若 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ，则 $f (x)$ （）

A、先单调通减后单调递增 B、在 $R$ 上单调递增 C、在 $R$ 上单调通减 D、单调性不确定

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15、用斜二测画法得到一个水平放置的四边形 $O A B C$ 的直观图为如图所示的直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $O^{'} A^{'} ∥ C^{'} B^{'}, O^{'} A^{'} ⊥ A^{'} B^{'}, O^{'} A^{'} = 3 C^{'} B^{'}$ ，四边形 $O A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则 $C^{'} B^{'} =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ 与 $\vec{b} = (2 + x, - 8)$ 共线，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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17、已知集合 $A = \{x |y = {log}_{2} x \leq 1\}, B = \{x ||x| \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $(- 1, 1]$ D、 $(1, 2]$

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18、在数学实践课堂上小明将手中的非等腰直角三角形板绕着该直角板的斜边旋转一周，得到的几何体为（）

A、圆柱 B、两个大小相同的圆锥组成的组合体 C、两个大小不同的圆锥组成的组合体 D、八面体

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19、已知 $f (x) = e^{a x} - x - 1$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $n \in Z^{*}$ ， $n \geq 2$ ，证明： $1 + 2^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{3}} + \dots +$ $n^{\frac{1}{n}} > n + \ln (n + 2) - \ln 3$ ．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ， $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $R$ 为椭圆上的一点，且 $△ R F_{1} F_{2}$ 的周长为 $6$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与椭圆交于 $E, F$ 两点（点 $E$ 在第一象限）， $P, Q$ 是椭圆 $C$ 上位于直线 $l$ 两侧的动点，始终保持 $∠ Q E F = ∠ P E F$ ，求证：直线 $P Q$ 的斜率为定值.

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有机高分子材料	塑料	纤维	薄膜
T	0.6	0.7	0.8