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相关试卷

1、已知 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A$ 为抛物线上的一点， $|A F| = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、焦点 $F (1, 0)$ B、准线方程 $y = - 1$ C、点 $A (1, 2)$ 或 $A (1, - 2)$ D、以 $A F$ 为直径的圆与抛物线的准线相切

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2、已知集合 $M = \{(x, y) | 2 x + y - 4 = 0\}$ ， $N = \{(x, y) | x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y = 0\}$ ，若 $M \cap N \neq \emptyset$ ，则 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $6 - 2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则该双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\sqrt{13}$

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4、已知圆O₁：x²+y²=1，圆O₂：（x–3）²+（y–4）²=16，则两圆的位置关系为

A、外切 B、内切 C、相交 D、外离

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5、如图，在平行六面体 $A B C D − A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B D_{1}} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $− \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} − \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} − \vec{c}$

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6、若定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，且 $f (2) = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、方程 $f (x) = 0$ 有三个不同的实根 B、 $f (x)$ 在R上单调递增 C、不等式 $x f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 2, 2]$ D、不等式 $\frac{f (x)}{x + 1} > 0$ 的解集是 $(- \infty, - 2) \cup (- 1, 0) \cup (2, + \infty)$

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7、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，对 $\forall x$ ， $y > 0$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 2$ ， $f (3) = 0$ ，且对 $\forall x_{1}, x_{2} > 0$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则关于a的不等式 $f (a^{2} - 2 a - 3) \geq \frac{4}{3}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [1 + \sqrt{5}, + \infty)$ B、 $[1 - \sqrt{5}, - 1] \cup [3, 1 + \sqrt{5}]$ C、 $[1 - \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5}]$ D、 $[1 - \sqrt{5}, - 1) \cup (3, 1 + \sqrt{5}]$

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8、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = x |x|$ C、 $y = \frac{1}{x}$ （ $x < 0$ ） D、 $y = - x^{2}$

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9、我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用 $C$ （万元）与隔热层厚度 $x$ （厘米）满足关系式： $C (x) = \frac{k}{3 x + 8} (0 \leq x \leq 10)$ ，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设 $f (x)$ 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.

(1)、求 $k$ 值和 $f (x)$ 的表达式；

(2)、当隔热层修建多少厘米厚时， $f (x)$ 最小？请说明理由并求出 $f (x)$ 的最小值.

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10、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ ，若存在 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = e^{- x}$ C、 $f (x) = \ln x$ D、 $f (x) = \tan x$

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11、已知函数 $f (x) = - 2 {(\frac{1}{2})}^{| x |} + a$ ，其图象无限接近直线 $y = 1$ 但又不与该直线相交，则 $f (x) > \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 1)$

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12、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $D (2 X) = 2 E (X)$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，利用公式 $\{\begin{cases} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{cases}$ ①（其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为常数），将点 $P (x, y)$ 变换为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 组成的正方形数表 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 唯一确定，我们将 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 $A$ ， $B$ ， …表示．

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $P (3, 4)$ 绕原点 $O$ 按逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到点 $P^{'}$ （到原点距离不变），求点 $P^{'}$ 的坐标；

(2)、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $P (x, y)$ 绕原点 $O$ 按逆时针旋转 $α$ 角得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ （到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；

(3)、向量 $\vec{O P} = (x, y)$ （称为行向量形式），也可以写成 $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为： $(\begin{array}{l} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ ，则称 $(\begin{array}{l} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ 是二阶矩阵 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 与向量 $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ 的乘积，设 $A$ 是一个二阶矩阵， $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 是平面上的任意两个向量，求证： $A (\vec{m} + \vec{n}) = A \vec{m} + A \vec{n}$ ．

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{n^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (n > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， P是直线 $l : x = 4$ 上的一动点，点Q在椭圆C上.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若 $|P Q|$ 的最小值小于 $\frac{5}{2}$ ，且直线 $O Q$ ， $P Q$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ， O为坐标原点，请问平面内是否存在定点T，满足 $P T ⊥ Q T$ 恒成立？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

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15、中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．
关注
没关注
合计
男
女
合计
附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$
（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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16、已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{4}{x} - 6 \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若关于x的方程 $f^{'} (x) = \frac{4 - a}{x^{2}} (a \in R)$ 有两个不同的解，求a的取值范围.

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17、已知 $x > 0, y > 0$ ，则 $\frac{2 x y}{x^{2} + 4 y^{2}} + \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ 的最大值是.

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18、函数 $f (x) = 3 \cos x - 4 \sin x$ ，若“ $x = α$ ”是“ $f (x)$ 取得最大值”的充分条件，则 $\sin α =$ .

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19、已知向量 $\vec{a} = (2 m, 3)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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20、某校数学兴趣小组的成员在研究一组数字，已知该组数字均为正整数，总个数为M，其中最大的数字为E（ $E \geq 4$ ），且在 $[1, E]$ 内的每一个整数均出现在该组数字中，该组数字满足如下规律：对该组数字中的任意正整数a（ $a < E$ ），数字a的个数是所有不小于a的数字的个数的10%.现在从这组数字中任取一个数字，记“数字为n”为事件 $A_{n}$ ， “数字不小于n”为事件 $B_{n}$ ，其中 $n < E$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $P (A_{2}) = \frac{1}{100}$ B、 $P (B_{n}) = {(\frac{9}{10})}^{n - 1}$ C、 $P (A_{E}) = {(\frac{9}{10})}^{E - 1}$ D、 $P (B_{n + 1}) = 10 P (A_{n + 1})$

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879

	关注	没关注	合计
男
女
合计