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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，函数 $y = g (x)$ 与 $y = f (x)$ 互为反函数.

(1)、若函数 $y = g (m x^{2} + 2 x + 1)$ 的值域为 $R$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、求证：函数 $φ (x) = g (x) + g (x + 2) + x$ 仅有1个零点 $x_{0}$ ，且 $g (e x_{0}) < f (x_{0} + ln x_{0})$ .

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2、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \cos^{2} (\frac{π}{2} + x) - 2 \sin (π + x) \cos x - \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调增区间；

(2)、若 $f (x_{0} - \frac{π}{6}) = \frac{14}{25}, x_{0} \in [\frac{3π}{4},π]$ ，求 $\sin 2 x_{0}$ 的值．

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3、已知函数 $f (α) = \frac{\sin (α + \frac{π}{2}) \cos (\frac{3 π}{2} - α) \tan (π - α)}{\sin (α + π)}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) \cdot f (α + \frac{π}{2}) = - \frac{1}{6}$ ，且 $\frac{π}{2} \leq α \leq π$ ，求 $f (α) - f (α + \frac{π}{2})$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) ， g (x) = f (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ ，若对任意的 $a$ ， $b \in [π - m ， m]$ ，当 $a > b$ 时， $f (a) - f (b) < g (2 a) - g (2 b)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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5、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上有最小值无最大值，则 $ω =$ .

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6、下列命题中：
①若集合 $A = \{x |k x^{2} + 2 x + 1 = 0\}$ 中只有一个元素，则 $k = 1$ ；
②已知命题p： $\exists x \in R$ ， $a x^{2} + 2 x - 1 \geq 0$ ，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是 $(- \infty, - 1)$ ；
③已知函数 $y = f (2^{- x})$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{2}, 2]$ ；
④函数 $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增；
⑤方程 $3^{|x|} = {log}_{3} (x + 3) + 2$ 的实根的个数是2.
所有正确命题的序号是.

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7、下列结论正确的是（）

A、若 $a > 0, b > 0$ ，则 $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a + b}{2}$ B、函数 $y = \sin x - \frac{2}{\sin x} (x \in (0, \frac{π}{2}))$ 的最小值为 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、函数 $f (x) = \log_{2023} [m x^{2} - (m^{2} + 1) x + m]$ 的值域为 $R$ ，则实数m的取值范围是 $R$ D、若函数 $f (x) = x^{- \frac{2}{7}}$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增.

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8、设 $α$ ， $β \in R$ ，且 $\frac{3}{2 + \sin α} + \frac{4}{2 + \sin 2 β} = 7$ ，则 $tan (α - β) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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9、设 $a = \ln 0.99$ ， $b = e^{0.99}$ ， $c = {0.99}^{e}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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10、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = A C = 2, E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $P$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E}, \vec{B F}$ ；

(2)、求 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的值；

(3)、求 $∠ E P F$ 的余弦值．

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11、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 1$ ，且 $f (x + 1) - f (x) = 2 x - 1$ ， $g (x)$ 为偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $g (x) = f (x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在给定的坐标系内画出 $g (x)$ 的图象；

(3)、讨论函数 $h (x) = g (x) - t$ （ $t \in R$ ）的零点个数．

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12、已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + m x - n < 0$ 的解集为 $\{x| - 2 < x < 1\}$ .

(1)、求实数 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{m}{a} + \frac{n}{b} = 2$ ，求 $m a + n b$ 的最小值.

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13、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | =$ .

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14、甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 $p$ ，随机变量 $X$ 表示最终的比赛局数．

(1)、求随机变量 $X$ 的分布列和期望 $E (X)$ ；

(2)、若 $0 < p < \frac{1}{3}$ ，设随机变量 $X$ 的方差为 $D (X)$ ，求证： $D (X) < \frac{20}{81}$ ．

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d = 2$ .

(1)、若 $S_{10} = 100$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、从集合 $\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\}$ 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件 $A$ ，求事件 $A$ 发生的概率 $P (A)$ .

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16、设 $ξ$ 为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时， $ξ = 0$ ；当两条棱平行时， $ξ$ 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， $ξ$ 为两条棱上两点（不在同一条棱上）间距离的最小值，则随机变量 $ξ$ 的所有可能取值有， $ξ$ 的数学期望为．

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17、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{b}{x}$ ，若 $f^{'} (1) = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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18、 $\frac{1}{x} {(1 - 3 x)}^{4}$ 的展开式中，常数项为．（用数字作答）

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ ，公差为 $d$ ， $f (x) = |x - a_{1}| + |x - a_{2}|$ ，则下列命题错误的是（）

A、函数 $y = f (x) (x \in R)$ 可能是奇函数 B、若函数 $y = f (x) (x \in R)$ 是偶函数，则 $d = 0$ C、若 $d = 0$ ，则函数 $y = f (x) (x \in R)$ 是偶函数 D、若 $d \neq 0$ ，则函数 $y = f (x) (x \in R)$ 的图象是轴对称图形

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20、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + c$ （ $a c < 0$ ），则函数 $y = f (x)$ 的图像不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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