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相关试卷

1、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，其左、右顶点分别为 $A, B$ ，上、下顶点分别为 $C, D$ .圆 $O$ 是以线段 $A B$ 为直径的圆.

(1)、求圆 $O$ 的方程；

(2)、若点 $E, F$ 是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线 $C E, D F$ 分别交 $x$ 轴于点 $M, N$ ，求证： $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 为定值；

(3)、若点 $P$ 是椭圆 $Γ$ 上不同于点 $A$ 的点，直线 $A P$ 与圆 $O$ 的另一个交点为 $Q$ ，是否存在点 $P$ ，使得 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{P Q}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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2、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，点 $P (2, y_{0})$ 在抛物线 $C$ 上且到焦点 $F$ 的距离为2.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程，并求其准线方程；

(2)、已知 $M (2, - 1)$ ，直线 $y = k x + 1 (k \neq 0)$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，记直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 的值.

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3、在 $△ A B C$ 中， $A (5, - 2)$ ， $B (7, 4)$ ，且 $A C$ 边的中点M在 $y$ 轴上，BC边的中点N在 $x$ 轴上.

(1)、求AB边上的高CH所在直线方程；

(2)、设过点C的直线为 $l$ ，且点A与点B到直线 $l$ 距离相等，求 $l$ 的方程.

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, m)$ ， $\vec{b} = (1, 0, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 夹角的余弦值．

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5、点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上，点 $P$ 到直线 $3 x - 4 y = 24$ 的最大距离和最小距离为．

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6、已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5，0)到l的距离的最大值为．

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7、已知 $3 a + 2 b = 5$ ，则直线 $a x + b y - 10 = 0$ 必过定点．

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8、已知曲线方程 $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{5 + m} = 1$ 表示椭圆，则下列说法正确的是（）

A、 $m$ 的取值集合为 $\{m |- 5 < m < 4\}$ B、当 $m = 2$ 时，焦点坐标为 $(0, \pm \sqrt{5})$ C、当 $m = - 1$ 时，记椭圆所包围的区域面积为 $S$ ，则 $S < 8 \sqrt{5}$ D、当 $- 5 < m < - \frac{1}{2}$ 时，随着 $m$ 越大，椭圆就越接近于圆

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9、已知空间中三点 $A (0, 1, 1)$ ， $B (2, 2, 1)$ ， $C (2, 1, 0)$ ，则（）

A、 $|\vec{B C}| = 2$ B、 $\vec{B C}$ 方向上的单位向量坐标是 $(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $\vec{n} = (1, - 2, 2)$ 是平面ABC的一个法向量 D、 $\vec{A C}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量的模为 $\sqrt{2}$

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10、在如图所示的空间直角坐标系中， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（）

A、直线 $B D_{1}$ 的一个方向向量为 $(- 2, 2, 2)$ B、直线 $B D_{1}$ 的一个方向向量为 $(2, 2, 2)$ C、平面 $B_{1} C D_{1}$ 的一个法向量为 $(1, 1, 1)$ D、平面 $B_{1} C D$ 的一个法向量为 $(1, 1, 1)$

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11、在以下命题中：
①三个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不能构成空间的一个基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面；
②若两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线；
③对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - \vec{2 O B} - \vec{2 O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面
④若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，且 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ, μ \in R, λ, μ \neq 0)$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底
⑤若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c} + 2 \vec{a}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12、已知点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线和抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的一个公共点，若 $P$ 到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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13、数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知 $△ A B C$ 的顶点分别为 $A (1, 3), B (2, 4), C (3, 2)$ ，则 $△ A B C$ 的欧拉线方程是（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x - y + 3 = 0$ C、 $x + y - 5 = 0$ D、 $3 x + y - 9 = 0$

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14、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $O$ 是对角线 $A C, B D$ 的交点.用基底 $\{\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A P}\}$ 表示 $\vec{P O}$ ，正确的是（）

A、 $\vec{A P} - \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{A P} - \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} - \vec{A P}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D} - \vec{A P}$

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15、以点(2，－1)为圆心，以 $\sqrt{2}$ 为半径的圆的标准方程是（）

A、(x＋2)²＋(y－1)²＝ $\sqrt{2}$ B、(x＋2)²＋(y－1)²＝2 C、(x－2)²＋(y＋1)²＝2 D、(x－2)²＋(y＋1)²＝ $\sqrt{2}$

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16、若直线 $a x + 3 y - 5 = 0$ 与直线 $2 x - 4 y - 3 = 0$ 互相垂直，则实数a的值是（）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- \frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$

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17、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 3$ ， $A A_{1} = 4$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $D A_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{16}{25}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{3}{5}$

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18、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$ ，那么该幂函数的解析式为．

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19、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $O$ 是 $A D$ 中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C D, P O = \sqrt{3}, A B = 2$ ，平面 $P A B \cap$ 平面 $P C D = l$ ．

(1)、求证： $l / / A B$ ；

(2)、如图， $M \in l$ 且 $P M = 1$ ，求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、设四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球球心为 $Q$ ，点 $M \in l$ ，求直线 $Q M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值的最大值．

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20、某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件 $G$ 由2个电子元件组成．如图所示，部件 $G$ 是由元件 $A$ 与元件 $B$ 组成的串联电路，已知元件 $A$ ， $B$ 正常工作的概率都为 $\frac{2}{3}$ ，且元件 $A, B$ 工作是相互独立的．

(1)、求部件 $G$ 正常工作的概率；

(2)、为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件 $G$ 正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为 $p$ ，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件 $A$ 并联后，再与 $B$ 串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件 $A$ 并联，另一个和元件 $B$ 并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件 $G$ 正常工作的概率达到最大？

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