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相关试卷

1、“ $a \in R$ 且复数 $(a + i) (1 - a i) \in R$ ”是“ $a = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 和 $C_{2} : \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ ，其中 $a > 0, b > 0$ ，且 $a \neq b$ ，则（）

A、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 虚轴长相等 B、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 焦距相等 C、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 离心率相等 D、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 渐近线相同

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} - x^{2} + a^{2} x + 1$ ，当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 有极大值，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、 $- 2$ 或1

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4、双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以 $C$ 的实轴为直径的圆记为 $D$ ，过 $F_{1}$ 作圆 $D$ 的切线与 $C$ 的两支分别交于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $\cos ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{41}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$

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5、设 $f (x)$ 为可导函数，且满足 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (3) - f (3 + Δ x)}{3 Δ x} = 3$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线的斜率是（）

A、 $- 9$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $9$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{a e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求a的值；

(2)、利用定义证明 $y = f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

(3)、若存在 $x \in [1, 3]$ ，使得 $f (k \cdot 4^{x} - 3) + f (2^{x}) > 0$ 成立，求k的取值范围.

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7、已知圆锥的顶点为 $S$ ， $A B$ 为底面直径， $△ S A B$ 是面积为1的直角三角形，则（）

A、该圆锥的母线长为 $\sqrt{2}$ B、该圆锥的体积为 $\frac{1}{3} π$ C、该圆锥的侧面积为 $π$ D、该圆锥的侧面展开图的圆心角为 $\sqrt{2} π$

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8、将 $n^{2}$ 个数排成 $n$ 行 $n$ 列的一个数阵，如：
$a_{1, 1}$         $a_{1, 2}$         $a_{1, 3}$        …        $a_{1, n}$
$a_{2, 1}$         $a_{2, 2}$         $a_{2, 3}$        …        $a_{2, n}$
$a_{3, 1}$         $a_{3, 2}$         $a_{3, 3}$        …        $a_{3, n}$
…       …       …       …       …
$a_{n, 1}$         $a_{n, 2}$         $a_{n, 3}$        …        $a_{n, n}$
该数阵第一列的 $n$ 个数从上到下构成以 $d$ 为公差的等差数列，每一行的 $n$ 个数从左到右构成以 $d$ 为公比的等比数列（其中 $d > 0$ ）．已知 $a_{1, 1} = 1, a_{5, 1} = a_{1, 4} + 1$ ，记这 $n^{2}$ 个数的和为 $S$ ，则下列说法正确的有（       ）

A、 $d = 2$ B、 $a_{5, 7} = 512$ C、 $a_{i, j} = (2 i - 1) \times 2^{j - 1}$ D、 $S = n^{2} (2^{n} - 1)$

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9、已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 4 = 0$ 与圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} = 4$ 的交点为 $M, N$ ，则直线 $M N$ 的方程为（）

A、 $3 x + 2 y + 4 = 0$ B、 $3 x + 2 y - 4 = 0$ C、 $3 x + 2 y + 2 = 0$ D、 $3 x + 2 y - 2 = 0$

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10、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ ， $g (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + a f (x) (a \in R, x > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、讨论 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、设 $a < 0$ ， $M = min \{- 6, - \frac{3}{8} a^{2}\}$ ，证明： $g (x) \geq M$ .

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11、 $A = 1 + a^{2}$ ， $B = 1 - a$ ， $C = \frac{1}{1 + a}$ ， $D = \frac{1}{1 - a}$ 为四个互不相等的实数.若A､B､C､D中C最大，求实数a的取值范围，并求出A､B､C､D中最小的数.

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12、某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入 $Q$ （单位：元）关于产量 $x$ （单位：个）满足函数： $Q = \{\begin{array}{l} 400 x - \frac{1}{2} x^{2}, 0 \leq x \leq 400 \\ 80000, x > 400 \end{array}$ .

(1)、将利润 $P$ （单位：元）表示为产量 $x$ 的函数；（总收入=总成本+利润）

(2)、当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?（单位利润 $=$ 利润 $\div$ 产量）

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13、已知二次函数 $f (x) =−3 x^{2} + a (6− a) x + b$ ，

(1)、若不等式 $f (x) >0$ 的解集为 $(1,2)$ ，求a、b的值.

(2)、当 $b =3$ 时，方程 $f (x) =0$ 有一个根小于1，一个根大于1，求实数a的取值范围.

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14、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x^{2} - 3 |x| - 4$ ，

(1)、求证： $f (x)$ 为偶函数；

(2)、用定义法证明 $f (x)$ 在 $(- \frac{3}{2}, 0)$ 上单调递增.

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15、集合 $A = \{x |x^{2} - x - 2 \geq 0\}$ ， $B = \{x |2 x - 1>0\}$ .求 $∁_{R} A$ ， $A \cap B$ ， $A \cup B$ .

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16、已知 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = x + 1$ ，令 $M (x) = max \{f (x), g (x)\}$ ，则 $M (x)$ 的最小值是.

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17、已知 $\frac{2}{x} + \frac{8}{y} = 1 (x$ ＞0， $y$ ＞ $0)$ ，则 $x + y$ 的最小值为．

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18、函数 $f (x) = |− x^{2} +4 x|$ 的单调增区间为.

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19、函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \sqrt{1 + x}$ 的定义域为.

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20、设 $h_{a}$ 、 $h_{b}$ 分别为 $△ A B C$ 中a、b两边上的高， $△ A B C$ 的面积记为S.当 $a \geq b$ 时，下列不等式正确的是( )

A、 $a + h_{a} \geq b + h_{b}$ B、 $4 S \leq a h_{b} + b h_{a}$ C、 $a h_{a} + b h_{b} \geq 2 h_{a} h_{b}$ D、 $a h_{b} + b h_{a} \leq 4 S + {(h_{a} - h_{b})}^{2}$

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