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1、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点．已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $|\vec{A B} - \vec{A C}| = |\vec{A B} + \vec{A C}|$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 1$ ， $c = 2$ ，且点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(3)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求 $t$ 的最小值．

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2、如图已知四棱锥 $S - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为梯形， $A D ∥ B C$ ， $S A = A B = B C = 2$ ， $A D = 3$ ， P、Q为侧棱 $S D$ 上的点，且 $D P : P Q : Q S = 3 : 2 : 4$ ，点 $M$ 为 $S A$ 上的点，且 $3 A M = A S$ ．

(1)、求证： $C P //$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求证：平面 $B M Q //$ 平面 $A C P$ ；

(3)、平面 $B M Q$ 与侧棱 $S C$ 相交于点 $E$ ，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值．

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3、已知锐角 $△ A B C$ 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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4、如图，梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $B C = 2 A D = 2$ ， $∠ D C B = 60^{\circ}$ ，在平面 $A B C D$ 内以过 $A B$ 的直线 $l$ 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．

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5、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{5}$ ， $A C = 2 \sqrt{10}$ ， $∠ B A C$ 为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且 $P Q = 2$ ，若 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最小值为3，则 $\cos ∠ B A C =$ ．

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6、如图，测量河对岸的塔高 $A B$ ，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 30^{\circ}$ ， $∠ B D C = 105^{\circ}$ ， $C D = 32 m$ ，在 $C$ 点测得塔顶A的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔的总高度为米．

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7、已知三棱锥 $P - A B C$ ， $P A ⊥ P B$ ， $P A ⊥ P C$ ， $P B ⊥ P C$ ， $P A = P B = P C = 1 cm$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的体积是 ${cm}^{3}$ ．

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8、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知M，N，P分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ ， BC的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C Q} = λ \vec{C C_{1}}$ ， $λ \in [0, 1]$ ，下列说法正确的是（）

A、 $P Q //$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、若Q，M，N，P四点共面，则 $λ = \frac{1}{4}$ C、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，点 $F$ 在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内，且 $A_{1} F / /$ 平面 $A P Q$ ，则点 $F$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{13}}{6}$ D、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则以 $B_{1}$ 为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 $\frac{9 + 3 \sqrt{3}}{4}$

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9、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）

A、若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $A = 24^{\circ}$ ， $b = 5$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{b^{2} + c^{2} - a^{2}}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形或直角三角形

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10、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (2 m, n - 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5$ B、当 $\vec{b} // \vec{c}$ 时， $4 m + n = 1$ C、当 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ 时， $m + 2 n = 2$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{5}, \frac{2}{5})$

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11、如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A A_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，沿棱柱表面，从 $E$ 到 $F$ 的最短路径长为（）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{2}}$ C、3 D、 $\sqrt{7 + \sqrt{2}}$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ， P是线段 $A D$ 与 $B E$ 的交点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、1 D、 $\frac{9}{7}$

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13、如图，已知直角梯形 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ，点F是CD中点，点E是线段 $B C$ 靠近B点的三等分点，则 $\vec{A F} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{7}{6}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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14、如图，已知水平放置的四边形 $A B C D$ 的斜二测直观图为矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 1$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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15、在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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16、已知两定点 $A_{1} (0, \sqrt{3}), A (0, - \sqrt{3})$ ，动点 $P$ 满足直线 $P A_{1}$ 与直线PA的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程，并指出方程表示的曲线 $C$ 的形状；

(2)、过点 $A_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 相交于点 $Q$ ，且 $A A_{1} = A Q$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(3)、若斜率为 $k$ 的直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点M，N，且 $A N = A M$ ，求 $k$ 的取值范围.

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17、在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $∠ B C D = 90^{°}, B C = 3, C D = 2, E D / / B C, D E = 2, A C$ $= 2 \sqrt{3}$ ，且 $A C ⊥$ 平面BCDE.

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面ACD.

(2)、在线段DA（不含端点）上是否存在点 $M$ ，使平面BEM与平面BEA所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ？若存在，求出DM的长度；若不存在，请说明理由.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是以2为公比的等比数列，且 $S_{3} = 2 a_{3} - 2$ .

(1)、解不等式： $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} > 100$ .

(2)、数列 $\{a_{n}\}$ 中，定义：使 $\frac{1}{16} a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}$ 为整数的数 $k (k \in N^{*})$ 叫做期盼数.求区间[1，100]内的所有期盼数的和.

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19、已知函数 $f (x) = a (x - 2) e^{x}$ （其中 $a > 0, e$ 为自然对数的底数）.

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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20、已知 $A + B = \frac{3 π}{4}$ ，则 $\frac{\sin (A + B) - \cos (A - B)}{\cos A \cos B} =$ .

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