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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $C = 60^{\circ}$ ，且 $3 a = 4 b = 12$ ，则c的值为.

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2、中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（）

A、对于圆O，其“太极函数”有1个 B、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - x (x \geq 0) \\ - x^{2} - x (x < 0) \end{array}$ 是圆O的一个“太极函数” C、函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 不是圆O的“太极函数” D、函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ 是圆O的一个“太极函数”

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3、在斜三角形 $A B C$ 中， $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $\tan A$ ， $\tan B$ 是方程 $3 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 的两根，则下列说法正确的是（）

A、 $\tan C = 3$ B、 $△ A B C$ 是钝角三角形 C、 $\sin B < \cos A$ D、 $\cos B < \sin A$

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4、复数 $z = 1 - i$ ，其共轭复数为 $\bar{z}$ ，则下列叙述正确的是（）

A、 $\bar{z}$ 对应的点在复平面的第四象限 B、 ${\bar{z}}^{2}$ 是一个纯虚数 C、 $z \cdot \bar{z} = 2$ D、 $\frac{\bar{z}}{z} = - i$

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5、在 $Δ A B C$ 中， $A ＝ 60 ° ， b ＝ 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{s i n A + s i n B + s i n C}$ 等于

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{39}}{2}$

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6、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $x y = x + 2 y$ ，则 $x y$ 的最小值为（）

A、4 B、8 C、6 D、2

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7、如图， $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 是体积为1的棱柱，则四棱锥 $C - A A^{'} B^{'} B$ 的体积是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 2, |2 \vec{a} - \vec{b}| = 2 \sqrt{13}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2π}{3}$ C、 $\frac{3π}{4}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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9、若 $cos α = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $\frac{tan α}{cos (π - α)} =$ （）

A、 $\pm 4 \sqrt{14}$ B、 $\pm 2 \sqrt{14}$ C、 $- \frac{8}{7} \sqrt{14}$ D、 $\frac{8}{7} \sqrt{14}$

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10、已知集合 $A = \{- 3, - 2, - 1, 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B$ 的非空子集个数为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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11、已知函数 $f (x)$ = $e^{x} - e^{- x} - 2 x$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）设 $g (x) = f (2 x) - 4 b f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $g (x) > 0$ ，求 $b$ 的最大值；
（3）已知 $1.4142 < \sqrt{2} < 1.4143$ ，估计ln2的近似值（精确到0.001）

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12、在 $Rt △ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B + \cos C}{b + c}$ .

(1)、求角A；

(2)、已知 $c \neq 2 b$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，点P，Q是边 $A C$ 上的两个动点（P，Q不重合），记 $∠ P B Q = θ$ .
①当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，设 $△ P B Q$ 的面积为S，求S的最小值：
②记 $∠ B P Q = α$ ， $∠ B Q P = β$ .问：是否存在实常数 $θ$ 和k，对于所有满足题意的 $α$ ， $β$ ，都有 $\sin 2 α + \sin 2 β + k = 4 k \sin α \sin β$ 成立?若存在，求出 $θ$ 和k的值；若不存在，说明理由.

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13、统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.

(1)、现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用 $ξ$ 表示其中A种鱼的条数，请写出 $ξ$ 的分布列，并求 $ξ$ 的数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

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14、如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A C} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{c}$ .

(1)、求证EG⊥AB；

(2)、求异面直线AG和CE所成角的余弦值．

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15、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD为边长是2的正方形， $D D_{1} = 2 C D$ ， E，F分别为棱AB， $C C_{1}$ 的中点，则过 $D_{1}$ ， E，F的平面截长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面所得截面的面积为.

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16、将函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 在 $(0, π)$ 上都恰好存在两个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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17、设 $a = C_{19}^{0} + C_{19}^{1} 7 + C_{19}^{2} 7^{2} + \dots + C_{19}^{19} 7^{19}$ ，则 $a$ 除以9所得的余数为．

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18、曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K (x) = \frac{|f^{″} (x)|}{{[1 + {(f^{'} (x))}^{2}]}^{1.5}}$ ，其中 $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数．下面说法正确的是（）

A、若函数 $f (x) = x^{3}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- a, - a^{3})$ 与点 $(a, a^{3})$ 处的弯曲程度相同 B、若 $f (x)$ 是二次函数，则曲线 $y = f (x)$ 的曲率在顶点处取得最小值 C、若函数 $f (x) = \sin x$ ，则函数 $K (x)$ 的值域为 $[0, 1]$ D、若函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 上任意一点的曲率的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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19、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线l与抛物线相交于A，B两点， $|A B| = 12$ ，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列结论正确的是（）

A、 $Q A ⊥ Q B$ B、若 $M (1, 1)$ ， P是抛物线上一动点，则 $|P M| + |P F|$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$ C、 $△ A O B$ （O为坐标原点）的面积为 $3 \sqrt{2}$ D、 $M (- \frac{p}{2}, 0)$ ，则 $\tan ∠ A M B = 2 \sqrt{2}$

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20、下列说法正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = {|z|}^{2}$ ， $z \in C$ B、 $i^{2024} = - 1$ C、若 $|z| = 1$ ， $z \in C$ ，则 $|z - 2|$ 的最小值为1 D、若 $- 4 + 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根，则 $p = 8$

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