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相关试卷

1、已知复数 $z = \frac{3 - 4 i}{2 + i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2、设集合 $M = \{y |y = 2 x, x \in [- 1, 1]\}$ ， $N = \{x |y = \log_{2} (1 - x)\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 1)$ D、 $[- 2 ， 1]$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} - 1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n} - 1}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{n a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{2 n - 1} \cdot b_{2 n + 1}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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4、对于一个函数 $f (x)$ 和两个点 $M (a, b)$ ， $N (c, d)$ ，给出如下定义：记： $γ (x) = \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(f (x) - b)}^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + {(f (x) - d)}^{2}}$ ，若 $P (x_{0}, f (x_{0}))$ 满足 $γ (x_{0}) = λ$ ，则称P是M，N视角下 $f (x)$ 的“基于 $λ$ 的回点”.

(1)、若 $f (x) = e^{x} \sin x$ ，点 $M (1, 1)$ ， $N (- 1, - 1)$ ，求：M，N视角下 $f (x)$ 的基于 $2 \sqrt{2}$ 的回点P的坐标；

(2)、若 $f (x) = a e^{x}$ ， $(0 < a \leq 1)$ ，对于点 $M (- 1, 0)$ ， $N (1, 0)$ ，若M，N视角下 $f (x)$ 的“基于 $2 \sqrt{2}$ 的回点”恰有两个，记为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，求证：直线 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的斜率 $k < \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = e$ （e为自然对数的底），且 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + A a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、当 $A = 0$ 时，令 $b_{n} = \ln a_{n}$ ，求 $b_{n}$ 的通项公式及其前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、当 $A = 1$ 时，令 $c_{n} = \frac{1}{1 + a_{n}}$ ， $T_{n} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n}$ ， $R_{n} = c_{1} \times c_{2} \times \dots \times c_{n}$ ，求 $e T_{n} + R_{n}$ 的值.

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6、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B // C D$ ， $D C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A B = B C = A D = 1$ ，点 $E$ 和 $F$ 分别在侧棱 $A A_{1}$ 、 $C C_{1}$ 上，且 $A_{1} E = C F = 1$ ．
（1）求证： $B C //$ 平面 $D_{1} E F$ ；
（2）求直线 $A D$ 与平面 $D_{1} E F$ 所成角的正弦值．

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7、已知锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足 $b \cos C = a - 2 \cos B$ .

(1)、求c的值；

(2)、若 $\tan C (\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B}) = \frac{4}{3}$ ，求 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的值.

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8、在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α - β)$ =.

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9、已知 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{5}| =$ ．

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10、甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记 $A_{1}$ 表示事件“从甲袋摸出的是红球”， $A_{2}$ 表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记 $B_{1}$ 表示事件“从乙袋摸出的是红球”， $B_{2}$ 表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（）

A、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是互斥事件 B、 $A_{1}$ ， $B_{2}$ 是独立事件 C、 $P (B_{2} |A_{2}) = \frac{7}{22}$ D、 $P (B_{2} |A_{1}) + P (B_{1} |A_{2}) = \frac{10}{11}$

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11、以下四个正方体中，满足 $A B ⊥$ 平面CDE的有（）

A、 B、 C、 D、

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12、在 $△ A B C$ 中， $2 \tan A + \tan B + \tan C = 0$ ，且 $\frac{π}{2} < B \leq \frac{2 π}{3}$ ，则 $\tan A$ 的值不可以是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、2

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13、在空间四边形ABCD中， $A B = B C = C D = D A = A C = 2$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的体积的最大值等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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14、下列选项中的圆既与 $x$ 轴相切又与直线 $l : y = \sqrt{3} x$ 相切的是（）

A、 ${(x + \sqrt{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ B、 ${(x + \sqrt{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 3$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 1$

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15、下表为国家统计局统计的2014年～2023年我国各级各类学校教职工数的统计数据：

	2014年	2015年	2016年	2017年	2018年	2019年	2020年	2021年	2022年	2023年
高等学校教职工数（万人）	234	237	240	244	249	257	267	275	284	292
高中阶段教职工数（万人）	365	365	368	375	381	391	403	395	407	418
初中阶段教职工数（万人）	396	398	400	408	420	435	450	469	475	482
小学阶段教职工数（万人）	549	549	554	565	573	585	597	622	625	626

则在这10年的时间里，教职工数的增长率（增长率 $= \frac{终值 - 初始值}{初始值}$ ×100%）最高的是（）

A、高等学校 B、高中阶段 C、初中阶段 D、小学阶段

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16、已知 $a, b \in R$ ， $(1 + a i) i = 3 + b i$ （i为虚数单位），则 $a + b =$ （）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 2$ D、2

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17、命题p： $\forall x > 1$ ，都有 $2 x^{2} - 1 > 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x_{0} > 1$ ，使得 $2 x_{0}^{2} - 1 > 0$ B、 $\exists x_{0} > 1$ ，使得 $2 x_{0}^{2} - 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \leq 1$ ，使得 $2 x_{0}^{2} - 1 > 0$ D、 $\exists x_{0} \leq 1$ ，使得 $2 x_{0}^{2} - 1 \leq 0$

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18、已知集合 $A = \{x \in Z | - 2 \leq x \leq 0\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, - 1]$ B、 $[- 1, 3]$ C、 ${- 2, 3}$ D、 ${- 1, 0}$

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19、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ．对于正实数a ，定义集合 $M_{a} = {x ∣ f (x + a) = f (x)}$ ．

(1)、若 $f (x) = s i n x$ ，判断 $\frac{π}{3}$ 是否是 $M_{π}$ 中的元素，请说明理由；

(2)、若 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2, & x < 0 \\ \sqrt{x}, & x \geq 0 \end{array}, M_{a} \neq \emptyset$ ，求a的取值范围；

(3)、若 $y = f (x)$ 是偶函数，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x$ ，且对任意 $a \in (0, 2)$ ，均有 $M_{a} \subseteq M_{2}$ ．写出 $y = f (x)$ ， $x \in (1, 2)$ 解析式，并证明：对任意实数c ，函数 $y = f (x) - c$ 在 $[- 3, 3]$ 上至多有9个零点．

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20、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{5} = 1 (a > \sqrt{5})$ ， $M (0, m) (m > 0)$ ， A是 $Γ$ 的右顶点．

(1)、若 $Γ$ 的焦点 $(2, 0)$ ，求离心率e；

(2)、若 $a = 4$ ，且 $Γ$ 上存在一点P ，满足 $\vec{P A} = 2 \vec{M P}$ ，求m；

(3)、已知AM的中垂线l的斜率为2，l与 $Γ$ 交于C、D两点， $∠ C M D$ 为钝角，求a的取值范围．

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