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相关试卷

1、过点 $M (1, 2)$ 的圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0$ 的切线方程是.

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2、已知 $\vec{a} = (1, 1, 1)$ 为平面 $α$ 的一个法向量， $A (1, 0, 0)$ 为 $α$ 内的一点，则点 $D (1, 1, 2)$ 到平面 $α$ 的距离为．

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3、已知 $△ A B C$ 的顶点是 $A (5, 1)$ ， $B (7, - 3)$ ， $C (1, - 1)$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的方程是．

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4、已知直线 $l_{1} : m x + y - 5 = 0$ ， $l_{2} : 3 x - y - 4 = 0$ ，且直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 平行，则实数m的值是.

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5、已知 $\vec{a} = (- 1, λ, - 2), \vec{b} = (2, - 2, μ)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ + μ$ 的值为.

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6、已知直线 $l$ ： $x + m y - 2 m - 1 = 0$ ，则点 $P (2, - 1)$ 到直线 $l$ 距离的最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、5 D、10

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7、已知点 $A (2, 3)$ ， $B (- 5, 2)$ ，若过点 $C (- 1, 5)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 相交，则直线 $l$ 的斜率的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2}{3}, \frac{3}{4}]$ B、 $(- \frac{2}{3}, \frac{3}{4})$ C、 $(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{2}{3}] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ， $C C_{1} = 4$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，则 $B C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{82}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{305}}{25}$ D、 $\frac{8 \sqrt{5}}{25}$

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9、圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 与直线 $x - y - 2 + \sqrt{2} = 0$ 相交所得弦长为（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10、已知直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 7 = 0$ 与直线 $l_{2} : 6 x - (m + 1) y + 1 - m = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11、若方程 $x^{2} + y^{2} - 2 a x + 2 a y + 2 a^{2} + a - 1 = 0$ 表示圆，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $(1, + \infty)$ . D、 $[1, + \infty)$

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12、过点 $(0, 0)$ 且垂直于直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 的直线方程为（）

A、 $2 x - y = 0$ B、 $2 x + y = 0$ C、 $x + 2 y = 0$ D、 $x - 2 y = 0$

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13、已知直线l的方向向量为 $\vec{v} = (1, 2, - 4)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (x, 1, - 2)$ ，若直线l与平面 $α$ 垂直，则实数x的值为（）

A、 $- 10$ B、10 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、直线 $l_{1} : (a + 1) x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : a x - y + 3 = 0$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知 $\vec{a} = (- 1, 3, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, 0, m)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， C的上顶点为B，左右顶点分别为A₁、A₂ ，左焦点为F₁ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．过F₁作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且 $|D E| = 3$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、若M，N是C上任意两点
①若点 $M (1, \frac{3}{2})$ ，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设 $△ M A_{1} G$ 和 $△ N A_{2} G$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $2 S_{1} - 2 S_{2} = 3$ ，求线段MN的长度；
②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求证：线段 $M N$ 的长度不大于 $\sqrt{14}$ ．

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17、现有一种不断分裂的细胞 $X$ ，每个时间周期 $T$ 内分裂一次，一个 $X$ 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 $X$ 细胞，每次分裂后原 $X$ 细胞消失，设每次分裂成一个新 $X$ 细胞的概率为 $p$ ，分裂成两个新 $X$ 细胞的概率为 $1 - p$ ；新细胞在下一个周期 $T$ 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 $X$ 细胞，在第一个周期 $T$ 中开始分裂，其中 $p \in (\frac{1}{2}, 1)$ .

(1)、设 $2 T$ 结束后， $X$ 细胞的数量为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、设 $n T (n \in N^{*})$ 结束后， $X$ 细胞数量为 $m$ 的概率为 $P_{m} (n)$ .
（i）求 $P_{2} (n)$ ；
（ii）证明： $P_{3} (n) < \frac{8}{27 p^{2}}$ .

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18、“ $1 \leq x \leq 5$ ”是“ $x^{2} - 7 x + 10 \leq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、满足 ${1, 2} \subseteq A$ ⫋ ${1, 2, 3, 4, 5}$ 的集合A的个数为（）

A、6 B、7 C、8 D、15

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20、已知 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $O$ 为坐标原点，过焦点 $F$ 作一条直线 $l_{0}$ 交 $C$ 于A，B两点，点 $M$ 在 $C$ 的准线 $l$ 上，且直线MF的斜率为 $- 1, △ O F M$ 的面积为1.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、试问在 $l$ 上是否存在定点 $N$ ，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、过焦点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线 $l_{1}$ 与抛物线 $C$ 交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.

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