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相关试卷

1、已知 $a, b > 0$ ， $2 a + b + a b = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、ab的最大值为 $6 - 4 \sqrt{2}$ B、 $2 a + b$ 的最大值为 $4 \sqrt{2} - 4$ C、 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 2}$ 的最小值为1 D、 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4

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2、下列结论错误的是（）

A、若 $f (1) < f (2)$ ，则 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上单调递增 B、 $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在定义域内单调递减 D、若 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - 4, x \leq 1, \\ - \frac{a + 3}{x}, x > 1 \end{array}$ 在R上单调递增，则a的取值范围为 $(- 3, - 1]$

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3、 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x^{2} - x + m|, 0 \leq x \leq 1, \\ {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 6 x + 9}, x > 1, \end{array}$ 若 $f (x)$ 的最大值为 $f (3)$ ，则m的取值范围为（）

A、 $[- \frac{3}{4}, 1]$ B、 $[- \frac{5}{4}, \frac{3}{4}]$ C、 $[- \frac{3}{4}, \frac{3}{4}]$ D、 $[- \frac{5}{4}, 1]$

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4、已知 $f (x) = x^{3} + \frac{4^{x} - 1}{m \cdot 2^{x}} - 2$ ， $f (\frac{1}{3}) = 2$ ，则 $f (- \frac{1}{3}) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 4$ C、 $- 6$ D、4

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5、“幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减”是“ $m = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6、“ $\exists x \in R, a x^{2} - a x + 1 \leq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 4)$ B、 $[0, 4)$ C、 $[0, 4]$ D、 $(0, 4]$

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7、已知函数 $f (2 x)$ 的定义域为 $[0, 4]$ ，则 $f (3^{x} - 1)$ 的定义域为（）

A、 $[0, 8]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[0, 80]$ D、 $[0, 3^{8} - 1]$

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8、若 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ， $c = {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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9、要建造一个容积为 ${1200m}^{3}$ ，深为6m的长方形无盖蓄水池，池壁的造价为95元 ${/m}^{2}$ ，池底的造价为135元 ${/m}^{2}$ ，问水池总造价最低时，水池的长a与宽b分别为（）

A、 $a = 10 \sqrt{2}$ ， $b = 10 \sqrt{2}$ B、 $a = 10$ ， $b = 20$ C、 $a = 20$ ， $b = 10$ D、 $a = 15$ ， $b = 15$

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10、已知集合 $A = {x | - 3 < x < 1}$ ， $B = {x | x^{2} < 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ C、 ${x | - 2 < x < 1}$ D、 ${x | - 3 < x < 2}$

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11、对于函数 $f (x) = 2024 sin 3 x$ 和 $g (x) = 2024 sin (3 x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的零点相同 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的最小值相同 C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的最小正周期相同 D、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的极值点相同

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12、已知 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2$ ，且 $f (2) = 2$ ，则 $f (3) =$ .

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13、在平面直角坐标系中，已知动点 $P (x ， y)$ 到直线 $l : x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离与点 $P$ 到点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离的比是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

(1)、求动点P的轨迹方程E；

(2)、若轨迹E与x轴的交点分别为 $A 、 B$ .过点 $T (4 ， t) (t \neq 0)$ 的直线 $A T 、 B T$ 分别与轨迹 $E$ 相交于点M和点N，求四边形AMBN面积的最大值.

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14、已知圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 与圆 $C^{'}$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ .

(1)、求C与 $C^{'}$ 相交所得公共弦长；

(2)、若过点 $A (0, 1)$ 且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 12$ ，求 $|\vec{P Q}| .$

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15、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形，O为线段 $A D$ 的中点且 $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， E是 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、点M为棱 $P C$ 的中点，求平面 $M A B$ 与平面 $A B D$ 夹角的余弦值.

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，且 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 0$ ．

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、射线 $A F_{1}$ 与 $C$ 交于点 $B$ ，且 $|A B| = \frac{8}{3}$ ，求 $△ A B F_{2}$ 的周长．

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且 $\vec{A P}$ 与 $\vec{A B} 、 \vec{A D}$ 的夹角都等于 $60^{\circ}, M$ 在棱PD上， $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P D}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}, \vec{A P} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示向量 $\vec{B M}$ ；

(2)、求 $\vec{B M}$ 与 $\vec{A P}$ 的夹角.

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18、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率e满足 $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (10 > m > 0)$ 是“黄金椭圆”，则 $m =$ ；“黄金椭圆” $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 两个焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ （ $c > 0$ ），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，连接PM并延长交 $F_{1} F_{2}$ 于N，则 $\frac{|P M|}{|M N|} =$ ．

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19、当点 $P (- 2, - 1)$ 到直线 $l : (1 + 3 λ) x + (1 + λ) y - 2 - 4 λ = 0 (λ \in R)$ 的距离最大时，此时的直线 $l$ 方程为.

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20、若平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (2, 1, 1)$ ，直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ，则平面 $α$ 与直线 $l$ 所成角的正弦值为．

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