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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ 和 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ E F$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 夹角的余弦值.

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2、如图，在平面内的四个动点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 构成的四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 3$ ， $A D = 4$ .

(1)、求 $△ A C D$ 面积的取值范围；

(2)、若四边形 $A B C D$ 存在外接圆，求外接圆面积.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $(2^{b_{n}} - 1) S_{n} = a_{n + 1}$ ，则满足 $T_{n} \geq 2$ 的正整数 $n$ 的最小值为.

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4、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M$ 为双曲线渐近线上的点，且 $\vec{F_{1} M} \cdot \vec{F_{2} M} = 0$ ，若 $|M F_{1}| = 2 |M F_{2}|$ ，则该双曲线的离心率 $e =$ .

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5、已知 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (\bar{B} |A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{5}{12}$ ，则 $P (B |\bar{A}) =$ .

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6、已知函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，对 $\forall x \in R$ ， $f (x) > 0$ ，且 $f (x + 1) = f (x) f (x + 2)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $f (2) = \sqrt{2}$ B、 $f (3) = 1$ C、 $f (- 1) = f (5)$ D、 $f (\frac{1}{2}) = f (\frac{15}{2})$

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7、已知复数 $|z_{1}| = |z_{2}| = 2$ ， $z_{3} = z_{1} + z_{2} = 2 i$ ，且 $z_{1}$ 在复平面内对应的点在第一象限，则以下结论正确的为（）

A、 $\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}} = \bar{z_{3}}$ B、 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ C、 $z_{1} \cdot z_{2} = - 4$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = 2 - \sqrt{3} i$

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8、函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - e^{2} x - 2$ 的极小值为（）

A、 $e^{2} - 2$ B、 $- 2 e^{2} - 2$ C、 $2 - 2 e^{2}$ D、 $- 2 - e^{2}$

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9、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $\frac{2}{a^{2} + 2 a b} + \frac{1}{b^{2} + a b} = 1$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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10、过点 $M (0, 1)$ 作圆 $O_{1}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则原点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12、如图，一个底面半径为 $4 cm$ ，母线长为 $4 \sqrt{5} cm$ 的圆锥形封闭容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的 $\frac{1}{2}$ ，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，液面的高度为（）

A、 $2 \sqrt[3]{7} cm$ B、 $4 cm$ C、 $6 cm$ D、 $4 \sqrt[3]{7} cm$

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13、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $sin (α - \frac{π}{10}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (α + \frac{2 π}{5}) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (4, m)$ ， $\vec{b} = (m^{2}, 2)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、4或2 B、 $- 2$ C、2 D、2或 $- 2$

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15、已知集合 $A = \{x ||x - 3| < 1\}$ ， $B = \{x |\frac{1}{8} \leq 2^{- x} \leq \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 3]$ B、 $(2, 3]$ C、 $[1, 3]$ D、 $(1, 3]$

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16、从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（）

A、至少有一个黑球与都是黑球 B、至少有一个黑球与至少有一个白球 C、恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D、至少有一个黑球与都是白球

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17、如图，在几何体 $P A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A // D C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $P A = A C = A B = 2 D C$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $P B$ ， $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P A C$ ．

(2)、证明： $A B ⊥ E F$ .

(3)、求直线 $E F$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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18、甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求甲连续打四局比赛的概率；

(2)、求在前四局中甲轮空两局的概率；

(3)、求第四局甲轮空的概率.

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c + b = 2 a \cos B$ ．

(1)、若 $A = \frac{π}{2}$ ，求B；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20、已知函数 $g (x) = |2^{x} - 1|$ ，若函数 $f (x) = {[g (x)]}^{2} + (a - 1) g (x) - 2 (a + 1)$ 有三个零点，则 $a$ 的取值范围为.

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