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相关试卷

1、如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $D = 60 °, D C = 2 A D = 2$ ，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 折起，使点D到达点P位置，且 $P C ⊥ B C$ ，连接 $P B$ 得三棱锥 $P - A B C$ ，如图2．

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、在线段 $P C$ 上是否存在点M，使平面 $A M B$ 与平面 $M B C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{5}{8}$ ，若存在，求出 $\frac{| P M |}{| P C |}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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2、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $E$ 在 $B D$ 上，点 $F$ 在 $B_{1} C$ 上，且 $B E = C F$ ，点 $P$ 在线段 $C M$ 上运动，给出下列四个结论：

①当点 $E$ 是 $B D$ 中点时，直线 $E F / /$ 平面 $D C C_{1} D_{1}$ ；
②直线 $B_{1} D_{1}$ 到平面 $C M N$ 的距离是 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ ；
③存在点 $P$ ，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90^{\circ}$ ；
④ $△ P D D_{1}$ 面积的最小值是 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$ ．
其中所有正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3、某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙发球甲赢的概率为 $\frac{1}{4}$ ，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{5}{24}$

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4、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |- 1 < x < 2\}$ ， $B = \{x |1 < x \leq 3\}$ ，求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cap B$

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5、已知集合 $A = {x | (x - 1) (x - 2) \leq 0}, B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{2, 3\}$

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6、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，集合 $M \subseteq D$ ，若存在正实数 $t$ ，使得任意 $x \in M$ ，都有 $x + t \in D$ ，且 $f (x + t) > f (x)$ ，则称 $f (x)$ 在集合 $M$ 上具有性质 $P (t)$ .

(1)、已知函数 $f (x) = x^{2}$ ，判断 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由；

(2)、已知函数 $f (x) = x^{3} - x$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上具有性质 $P (n)$ ，求正整数 $n$ 的最小值；

(3)、如果 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = |x - a| - a (a \in R)$ ，且 $f (x)$ 在 $R$ 上具有性质 $P (6)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、已知函数 $f (x) = \frac{a x - b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并用单调性定义证明；

(3)、解不等式 $f (t - 1) + f (t^{2}) > f (0)$ ．

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8、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ 和 $B C$ 边上的点.沿 $E F$ 折叠使 $C$ 与线段 $A B$ 上的 $M$ 点重合（ $M$ 不在端点 $A, B$ 处），折叠后 $C D$ 与 $A D$ 交于点 $G$ .

(1)、证明： $△ A M G$ 的周长为定值.

(2)、求 $△ A M G$ 的面积 $S$ 的最大值.

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9、已知函数 $f (x), g (x)$ 的定义域为 $R, y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且 $f (1 - x) + g (x) = 10$ ， $f (x) - g (x - 4) = 5$ ，若 $f (2) = 1$ ，则 $g (1) + g (2) =$ .

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10、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, 0 < x < 2 \\ - 2 x + 8, x \geq 2 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (a + 2)$ ，则 $f (2 a) =$ .

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11、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足： $f (2) = 2$ ，且对于任意 $x_{1} > x_{2} > 0$ ， $x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2}) > 2 x_{2} - 2 x_{1}$ ，若函数 $g (x) = \frac{f (x) - 2}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、 $g (- 3) < g (4)$ C、 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递减 D、若正数 $m$ 满足 $f (2 m) - \frac{m}{2} f (4) + m - 2 > 0$ ，则 $m \in (2, + \infty)$

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12、已知a，b为正实数，且 $a b + a + b = 8$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为4 B、 ${(a + 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}$ 的最小值为18 C、 $a + b$ 的最小值为4 D、 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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13、对于任意实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，下列四个命题中为假命题的是（）

A、若 $a > b$ ， $c \neq 0$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ D、若 $a > b > 0$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[0, + \infty)$ 的单调函数，且对于任意的 $x \in [0, + \infty)$ ，都有 $f [f (x) - \sqrt{x}] = 2$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x + 2) = x + k$ 恰有两个实数根，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[2, \frac{9}{4})$ B、 $[1, \frac{5}{4})$ C、 $[3, \frac{13}{4})$ D、 $(- \infty, \frac{13}{4})$

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15、“函数 $f (x) = \frac{1}{a x^{2} - a x + 1}$ 的定义域为R”是“ $0 < a < 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知 $f (x) = a x^{2} - x - c$ ，若 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 2, 1)$ ，则函数 $y = f (- x)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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17、下列函数既是奇函数又在 $(0, + \infty)$ 单调递增的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = \frac{1}{x^{3}}$ C、 $y = x - \frac{1}{x}$ D、 $y = x + \frac{1}{x}$

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18、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0\}, B = {x ∣ (x - 2) (a x - 2) = 0}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的值不可以为（）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x - b$ ．
（1）若 $b = 3 a^{2}$ ，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集；
（2）若 $a > 0, b > 0$ ，且 $f (b) = b^{2} + b + a + 1$ ，求 $a + b$ 的最小值．

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20、已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，画出函数 $f (x)$ 的图像并写出函数的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, a - 2]$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若方程 $| f (x) | - k = 0$ 有 $2$ 个根，求实数 $k$ 的取值范围，并求这 $2$ 个根的和

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