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相关试卷

1、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3$ ， $A_{1} C_{1} = A_{1} A = A B = 2$ ， $A_{1} B = \sqrt{3}$ ， $∠ A_{1} A C = ∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $A_{1} O ⊥ A C$ ，垂足为O，连接BO．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} O B$ ；

(2)、求直线 $B_{1} B$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值．

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2、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} b - a \sin C = \sqrt{3} a \cos C$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $c = 2$ ，求b的取值范围．

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3、第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级 $K_{n} (n \in N^{*})$ 角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为 $60 °$ ），则n级 $K_{n}$ 角雪花曲线的开三角个数为， n级 $K_{n}$ 角雪花曲线的内角和为．

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4、某冰淇淋门面店将上半部是半球（半球的半径为3），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为6）的冰淇淋模型放到椐窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为．

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5、已知复数 $z = a - 1 + (a + 3) i$ ， $a \in R$ ，则 $|z|$ 的最小值为．

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6、在 $n$ 个数码1，2，…， $n$ （ $n \in N$ ， $n \geq 2$ ）构成的一个排列 $j_{1} j_{2} \cdot \cdot \cdot j_{n}$ 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如 $j_{2} > j_{5}$ ，则 $j_{2}$ 与 $j_{5}$ 构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为 $T (j_{1} j_{2} \cdot \cdot \cdot j_{n})$ ，例如， $T (312) = 2$ ，

(1)、计算 $T (51243)$ ；

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} \cdot T (51243) - T (3412)$ ， $a_{1} = 2$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设排列 $j_{1} j_{2} \cdot \cdot \cdot j_{n}$ （ $n \in N$ ， $n \geq 2$ ）满足 $j_{i} = n + 1 - i$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）， $b_{n} = T$ （ $j_{1} j_{2} \cdot \cdot \cdot j_{n}$ ）， $S_{n} = \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n + 1}}$ ，求 $S_{n}$ ，

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7、已知点 $P$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离比点 $P$ 到 $y$ 轴的距离大1，

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、若点 $A (2, m)$ （ $m > 0$ ）在 $E$ 上，又已知点 $G (- 1, 0)$ ，延长 $A F$ 交 $E$ 于点 $B$ ，证明：以点 $F$ 为圆心且与直线 $G A$ 相切的圆，必与直线 $G B$ 相切.

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - x^{2} + x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为1的切线方程；

(2)、当 $x \in [- 2, 4]$ 时，求证： $x - 6 \leq f (x) \leq x$ .

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9、甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有2个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $q_{n}$ ，则 $p_{2} =$ ， $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n}) =$ .（用 $n$ 表示）

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10、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{7} A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，满足 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $A C = B D$ .则 $△ A B C$ 的面积为.

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11、已知函数 $y = x f (x + 1)$ 为偶函数，且 $f (1 - x) = f (x + 3)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2 - 2^{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期为2 D、 $f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (30) = - 1$

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12、杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.根据杨辉三角判断下列说法正确的是（）

A、 ${(x - 1)}^{6} = x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x + 1$ B、已知 ${(x + 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{5} {(x + 1)}^{5}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} = 1$ C、已知 ${(1 - 3 x)}^{n}$ 的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为 $2^{12}$ D、 $C_{7}^{2} + 4 C_{7}^{3} + 6 C_{7}^{4} + 4 C_{7}^{5} + C_{7}^{6} = C_{11}^{6}$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x ln x, x > 0, \\ - 1, x = 0, \\ x ln (- x) - 2, x < 0. \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a x - 1$ 有5个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(1, e)$ D、 $(2, 2 e)$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是各项为正数的等比数列，公比为 $q$ ，在 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为 $d_{1}$ ，在 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为 $d_{2}$ ， …，在 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数成等差数列，公差为 $d_{n}$ ，则（）

A、当 $0 < q < 1$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递减 B、当 $q > 1$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递增 C、当 $d_{1} > d_{2}$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递减 D、当 $d_{1} < d_{2}$ 时，数列 $\{d_{n}\}$ 单调递增

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15、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的上顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，连接 $A F_{2}$ 并延长交椭圆 $C$ 于另一点 $B$ ，若 $|F_{1} B| : |F_{2} B| = 7 : 3$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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16、在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C, ∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，作 $A E ⊥ P B$ 于 $E, A F ⊥ P C$ 于 $F$ ，下面结论正确的是（       ）
① $B C ⊥$ 平面 $P A B$              ② $A F ⊥$ 平面 $P B C$
③三棱锥 $A - B C E$ 是鳖臑             ④三棱锥 $A - C E F$ 是鳖臑

A、①③ B、①②④ C、②③ D、①③④

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17、已知 $sin (θ + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ （ $- \frac{2 π}{3} \leq θ \leq \frac{π}{3}$ ），则 $sin (θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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18、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、10

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19、已知复数 $z = \frac{a}{1 + i}$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(2, b)$ ，则实数 $a, b$ 的值分别为（）

A、 $4, 2$ B、 $4, - 2$ C、 $- 4, 2$ D、 $- 4, - 2$

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20、集合 $A = \{(x, y) |y = x, x \in R\}$ ， $B = \{(x, y) |y = x^{2}, x \in R\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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