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相关试卷

1、设 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{| 1 - \sqrt{3} i |}{1 + i}$ 的共轭复数是

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $2 + i$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n}$ 是 $3 a_{n}$ 与 $- 3$ 的等差中项；数列 $\{b_{n}\}$ 中 $b_{1} = 1, b_{n} - b_{n - 1} = n (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{2 b_{n} - n}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < \frac{7}{4}$ ；

(3)、设 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{3}{a_{2}} + \frac{5}{a_{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求 $T_{n}$ .

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3、如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为4，四边形 $A B E F$ 为矩形， $A F = 2$ ，点 $G$ 在 $E F$ 上，若三棱锥 $C - A B G$ 的四个顶点都在半径为 $\frac{\sqrt{129}}{4}$ 的球 $O$ 的球面上，则 $F G =$ .

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4、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，若椭圆上存在一点 $P$ ，满足线段 $P F_{2}$ 与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段 $P F_{2}$ 的中点，则该椭圆的离心率为.

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdot \cdot \cdot + {(- 1)}^{n - 1} \cdot n$ ，则 $S_{17} =$ .

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6、（多选）物体运动方程为 $s (t) = 3 t^{2}$ （位移单位： $m$ ，时间单位： $s$ ），若 $v = \lim_{Δ t \to 0}$ $\frac{s (3 + Δ t) - s (3)}{Δ t} = 18 m / s$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $18 m / s$ 是物体从开始到 $3 s$ 这段时间内的平均速度 B、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的速度 C、 $18 m / s$ 是物体在 $3 s$ 这一时刻的瞬时速度 D、 $18 m / s$ 是物体从 $3 s$ 到 $(3 + Δ t) s$ 这段时间内的平均速度的极限值

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7、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = sin \frac{(n + 1) π}{2}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{18} =$ （）

A、0 B、18 C、10 D、9

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8、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项为 $a_{n} = n - 3$ ，若 $a_{4}, a_{6}, a_{m}$ 成等比数列，则 $m =$ （）

A、9 B、12 C、15 D、18

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9、已知函数 $f (x) = ln x - a x + 1$ ，其中 $a \in R .$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、①若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最小值；
②证明： $3 + \frac{5}{2^{2}} + \frac{7}{3^{2}} + \dots + \frac{2 n + 1}{n^{2}} > 2 ln (n + 1)$ ，其中 $n \in N^{*} .$

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， M为 $B C$ 的中点．
（1）求证： $P B ⊥ A M$ ；
（2）求平面 $P A M$ 与平面 $P D C$ 所成的角的余弦值．

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11、数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 5$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + n$ ，则 $a_{10}$ 等于.

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + 1$ ， $a \in R$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 有极值点，则 $a \leq 0$ B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 有一个零点 C、 $f (x) = 2 - f (- x)$ D、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 上斜率为2的切线是直线 $y = 2 x - 1$

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13、已知点 $A (1, - 2) 、 B (2, 0) 、 C (3, - 3) 、 D (- 1, - 6)$ ，则（）

A、 $\vec{A B}$ $∥$ $\vec{A D}$ B、 $|\vec{A B}| = |\vec{A C}|$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{B D} = 0$ D、 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$

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14、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 3)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得最大值 C、 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 处取得最小值

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15、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = - 3, S_{6} = 21$ ，则 $a_{1}$ 等于（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、2 D、5

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16、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6} = 3$ ， $S_{8} = 12$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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17、函数 $f (x) = x^{2} - 2^{x}$ 的导函数为 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $2 x - 2^{x}$ B、 $2 x - 2^{x} \ln 2$ C、 $2 x + 2^{x}$ D、 $2 x + 2^{x} \ln 2$

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18、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，若在该正方体的棱上恰有 $4$ 个点 $M$ ，满足 $|M B| + |M C_{1}| = d$ ，则 $d$ 的取值范围为.

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19、设公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} > a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} > 0$ B、 $0 < q < 1$ C、 $a_{n + 1} > a_{n}$ D、 $S_{n} < \frac{1}{q - 1}$

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20、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $M$ 上， $Q$ 为 $P F_{2}$ 的中点，且 $F_{1} Q ⊥ P F_{2}$ ， $|F_{1} Q| = b$ ，则 $M$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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