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相关试卷

1、已知 $P$ 是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 内一点（含边界），且 $\vec{A P} = \vec{A B} + λ \vec{A F}$ ， $λ \in R$ ，则（）

A、 $△ P C D$ 的面积恒为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、存在 $λ$ ，使得 $|\vec{P C}| < |\vec{A P}|$ C、 $\cos ∠ C P D \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $\vec{P C} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是 $[0, \sqrt{3}]$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{4} sin 4 x + \frac{1}{4} cos 4 x + \frac{3}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}]$ C、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、若方程 $f (x) + m = 0$ 在 $[0, \frac{5 π}{24}]$ 上恰有一个根，则 $m$ 的取值范围为 $(- 1, - \frac{3}{4}]$

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3、若 $\tan 35 ° = m$ ，则 $\frac{1 + \sin 20 °}{\cos 20 °} =$ （）

A、 $\frac{1 + m}{1 - m}$ B、 $\frac{1 - m}{1 + m}$ C、 $\frac{1}{m}$ D、 $m$

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4、若 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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5、已知 $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，则（）

A、A、B、D三点共线 B、A、B、C三点共线 C、B、C、D三点共线 D、A、C、D三点共线

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6、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的终边经过点 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7、 $\sin 37^{\circ} \cos 7^{\circ} - \cos 37^{\circ} \sin 7^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8、 $\cos \frac{26 π}{3}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，且 $A B = 5, C E = 3, ∠ A E B = \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $B C$ ；

(2)、若动点 $M, N$ 分别在线段 $E A, E B$ 上，且 $△ E M N$ 与 $△ E A B$ 面积之比为 $(\sqrt{2} + 1) : 4$ ，试求 $M N$ 的最小值.

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10、已知：斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} ⊥ A C$ ， $A A_{1}$ 与面 $A B C$ 所成角正切值为 $2$ ， $A A_{1} = \sqrt{5}$ ， $A B = B C = \frac{\sqrt{2}}{2} A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点，且点 $E$ 向平面 $A B C$ 所作投影在 $△ A B C$ 内．

(1)、求证： $A C ⊥ E B$ ；

(2)、 $F$ 为棱 $A A_{1}$ 上一点，且二面角 $A - B C - F$ 为 $30^{\circ}$ ，求 $\frac{A F}{A A_{1}}$ 的值．

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11、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在线段 $B C$ 上， $A B ⊥ A D$ ， $B D = 3$ ， $C D = 1$ ，点M是 $△ A B C$ 外接圆上任意一点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A M}$ 最大值为.

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12、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为 $a = 2 \sin 18 °$ ，若 $a^{2} + b = 4$ ，则 $\frac{1 - 2 \cos^{2} 27 °}{a \sqrt{b}} =$ .

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13、在以O为中心， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为焦点的椭圆上存在一点M，满足 $|M F_{1}| = 2 |M O| = 2 |M F_{2}|$ ，则该椭圆的离心率为.

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14、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ），O为原点，过抛物线C的焦点F作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与抛物线交于点A，B，直线AO，BO分别交抛物线的准线于点C，D，则 $\frac{|A B|}{|C D|}$ 为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（）

A、图（1）的平均数=中位数=众数 B、图（2）的众数<中位数<平均数 C、图（2）的平均数<众数<中位数 D、图（3）的平均数<中位数<众数

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16、四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.四色定理的内容是“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（4种颜色不一定用完），满足四色定理的不同的涂色种数为

A、96 B、72 C、108 D、144

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17、函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.
（1）求 $f (x)$ 的解析式；
（2）若 $\forall x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ ， ${[f (x)]}^{2} - m f (x) - 1 \leq 0$ ，求 $m$ 的取值范围；
（3）求实数 $a$ 和正整数 $n$ ，使得函数 $F (x) = f (x) - a$ 在 $[0, n π]$ 上恰有2021个零点.

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18、如图，有一块边长为3m的正方形铁皮 $A B C D$ ，其中阴影部分 $A T N$ 是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在 $B C$ 与 $C D$ 上的矩形铁皮 $P Q C R$ ，使点 $P$ 在弧 $T N$ 上．设 $∠ T A P = θ$ ，矩形 $P Q C R$ 的面积为 $S m^{2}$ ．

(1)、求 $S$ 关于 $θ$ 的函数表达式；

(2)、求 $S$ 的最大值及 $S$ 取得最大值时 $θ$ 的值．

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19、已知 $α, β \in (\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$ ，且 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ， $\sin (β + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求 $\sin 2 α$ 的值；
（2）求 $α - β$ 的值．

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20、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 \cos^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值及最小正周期；

(2)、求使 $f (x) \geq 2$ 的x的取值范围．

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