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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = \frac{\sqrt{2}}{2} B C = \sqrt{2}$ ，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形，且 $∠ A B B_{1} = \frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A B C$ 外接球的表面积；

(3)、求 $C B_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $C (x, y)$ 与点 $A (- 2, 0)$ 的距离是它与点 $B (2, 0)$ 的距离的 $\sqrt{2}$ 倍.

(1)、求动点 $C$ 的轨迹方程；

(2)、点 $D (m, n)$ 在动点 $C$ 的轨迹上，求 $\frac{n}{m + 2}$ 的最大值；

(3)、若直线 $l$ 过点 $M (- 2, - 4)$ 且与动点 $C$ 轨迹相交于 $E, F$ 两点，当 $|E F| = 8$ 时，求直线 $l$ 的方程.

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3、已知偶函数 $f (x) = \frac{(x + 2) (x + a)}{x^{2}}$ 的定义域为 $D$ ，值域为 $E$

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq \frac{t x + 1}{x}$ 在区间 $[1, 2]$ 上恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、若 $D = [- n, - m] \cup [m, n]$ ， $E = [2 - \frac{5}{m}, 2 - \frac{5}{n}]$ ，求实数m，n的值.

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4、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{c + a}{b} = \frac{sin C - sin B}{sin C - sin A}$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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5、设函数 $f (x) = a + \sqrt{- x^{2} - 4 x}$ 和 $g (x) = \frac{5}{12} x + 2$ .已知当 $x \in [- 4, 0]$ 时，恒有 $f (x) \leq g (x)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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6、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为4，方差为2，则数据 $2 x_{1} + 3, 2 x_{2} + 3, \dots, 2 x_{n} + 3$ 的平均数与方差的和为.

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7、在空间直角坐标系中，若 $\vec{a} = (2, 1, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, x)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

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8、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ， P，Q分别是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 上的点，下列说法正确的是（）

A、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 外切，则 $r = 4$ B、当 $r = 5$ 时，则两圆公共弦所在直线方程为 $3 x - 4 y - 1 = 0$ C、当 $r = 2$ 时，若直线 $P Q$ 的斜率存在，则 $P Q$ 斜率的最大值为 $- \frac{7}{24}$ D、当 $r = 3$ 时，过点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 两条切线，切点分别为A，B，则存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = \frac{π}{2}$

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9、已知椭圆 $C$ 的方程是 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， P为椭圆 $C$ 上任意一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点，则下列说法正确的是（）

A、过点 $F_{1}$ 且斜率不为0的直线与椭圆 $C$ 交于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、存在点 $P$ ，使得 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为2 C、椭圆 $C$ 上存在4个不同的点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆半径的最大值为 $2 \sqrt{3} - 3$

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10、下列说法正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，点 $A (1, 2, 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为 $(1, - 2, - 3)$ B、在空间直角坐标系中， $\vec{n} = (1, 0, 0)$ 是坐标平面 $O x y$ 的一个法向量 C、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 ${\vec{a}, \vec{b} - \vec{a}, \vec{a} - \vec{c}}$ 也是空间一组基底 D、以 $A (4, 1, 9)$ ， $B (10, - 1, 6)$ ， $C (2, 4, 3)$ 为顶点的三角形是等边三角形

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11、已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $Q$ 在直线 $l : x = a$ 上运动.若 $tan ∠ F_{1} Q F_{2}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、若直线 $a x + b y - 10 = 0$ 与圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} - 2 y = 0$ 相切于点 $(4, 2)$ ，则 $a b$ 的值为（）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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13、已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，一个焦点为 $F (3, 0)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于A、B两点.若 $A B$ 的中点为 $(1, - 1)$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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14、已知直线 $l : x - 2 y - 8 = 0$ 和 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 4)$ 两点，若直线 $l$ 上存在点 $P$ 使得 $|P A| + |P B|$ 最小，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(3, - 2)$ B、 $(4, - 2)$ C、 $(0, - 4)$ D、 $(2, - 3)$

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15、已知直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 满足条件sin $α$ ＋cos $α$ ＝ $\frac{1}{5}$ ，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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16、已知正三棱台的体积为 $7 \sqrt{3}$ ，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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17、若圆的一条直径的两个端点坐标是 $A (4, 9), B (6, 3)$ ，则圆的方程为（）

A、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 10$ B、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 10$ C、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 40$ D、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 40$

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18、若复数 $z$ 满足 $(1 - z) i = 1 + z$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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19、“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 和 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，两点间的“曼哈顿距离” $d (P_{1}, P_{2}) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ．

(1)、如图，若 $O$ 为坐标原点， $A, B$ 两点坐标分别为 $(2, 3)$ 和 $(4, 1)$ ，求 $d (O, A), d (O, B), d (A, B)$ ；

(2)、若点 $P$ 满足 $d (O, P) = 5$ ，试在图中画出点 $P$ 的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积；

(3)、已知函数 $f (x) = {(x + 2)}^{2}, x \in [- 4, 0], M$ 是 $f (x)$ 图象上一个动点，求 $d (O, M)$ 的最值，并求出此时点 $M$ 的坐标．

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20、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x) > 4 - 7 x$ 的解集为 $(1, 4)$ ，且 $f (0) = 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x > 0$ ，求 $g (x) = \frac{f (x) - 1}{x}$ 的最大值；

(3)、当 $x \in [t, t + 2] (t \in R)$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值 $h (t)$ （用 $t$ 表示）．

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