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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则“ $\{a_{n}\}$ 为常数列”是“ $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} = n a_{n}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、设奇函数 $f (x)$ ， $(x \in R)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) + f (x) > 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0)$ B、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$

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3、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0)$ 的部分图像如图所示，其中 $M (\frac{π}{3}, 2), N (\frac{4 π}{3}, 0)$ 为图像上两点，将函数 $f (x)$ 图像的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{8}$ ，再向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像，则函数 $g (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[- \frac{11 π}{2} + 16 k π, \frac{3 π}{2} + 16 k π] (k \in Z)$ B、 $[\frac{3 π}{2} + 16 k π, \frac{17 π}{2} + 16 k π] (k \in Z)$ C、 $[\frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{k π}{2}] (k \in Z)$ D、 $[- \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}, \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}] (k \in Z)$

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4、已知O为 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{O A} + \sqrt{3} \cdot \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $∠ A O C$ 的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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5、若过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 是抛物线的顶点，则 $Δ A B O$ 是（）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上都有可能

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6、若复数 $z$ 满足 $(3 + 4 i) z = |4 - 3 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7、举办校运会，某班参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，那么该班参加本次运动会的人数共有（）

A、28 B、23 C、18 D、16

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8、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2 \sqrt{3}$ 且 $cos C + (cos B - \sqrt{3} sin B) cos A = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $b + c$ 的取值范围.

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $P C = A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 是 $P B$ 上一点．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $E$ 是 $P B$ 的中点，求平面 $P A C$ 与平面 $A C E$ 的夹角的正弦值．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A = 60 °$ ，点D，E满足 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{C E}$ ， AC边上的中线BM与DE交于点O.设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B M}$ ， $\vec{D E}$ ；

(2)、求 $∠ M O E$ .

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11、如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，点 $P$ 是线段 $A_{1} B$ 上的一动点，则线段 $A P + P C_{1}$ 的最小值为．

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12、如图是函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $x = \frac{5 π}{6}$ 是函数 $y = f (x)$ 的一条对称轴 C、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的函数为奇函数 D、若函数 $y = f (t x) (t > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有两个零点，则 $t \in [\frac{5}{6}, \frac{4}{3})$

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $P A = P B = 4$ ， $P C = P D = 2 \sqrt{2}$ ，该棱锥的高为（）.

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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14、已知在 $△ A B C$ 中， $A C = 3, B C = 4, ∠ C = 90^{\circ} . P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 4$ C、 $- 5$ D、 $- 6$

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15、已知 $l, m$ 表示不同的直线， $α, β$ 表示不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l // α$ ，且 $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $α ⊥ β, l ⊥ β, m // α$ ，则 $m // l$ C、若 $m ⊥ n, m ⊥ α$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β, l ⊥ β, l ⊄ α$ ，则 $l // α$

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16、函数 $f (x) = {(1 + x)}^{r} - r x - 1 (x > - 1$ ，且 $r > 0)$ .

(1)、 $r \neq 1$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，判断 $2 {cos}^{2} θ$ 与 ${(\frac{1}{n} cos 2 θ + 1)}^{n}$ 的大小 $(n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2)$ ，并说明理由；

(3)、证明：对于任意的 $n \in N^{*}, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，有 $({sin}^{2} θ + {sin}^{3} θ + \dots + {sin}^{2 n} θ + {sin}^{2 n + 1} θ) + ({cos}^{2} θ + {cos}^{3} θ + \dots + {cos}^{2 n} θ + {cos}^{2 n + 1} θ) \geq (\sqrt{2} + 2) (1 - \frac{1}{2^{n}})$ .

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17、设 $O$ 为坐标原点，点 $P (2, 4)$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的两个动点， $\vec{O P} = λ (\vec{O A} + \vec{O B}) (λ \in R)$ .

(1)、证明：向量 $\vec{m} = (1, 4)$ 是直线 $A B$ 的一个法向量；

(2)、若线段 $O P$ 与椭圆交于点 $Q$ ，求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

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18、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} = \frac{1}{a_{n}}, a_{1} = 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = ln a_{2 n - 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，并求其通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = ln a_{n}, S_{n}$ 是数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，对 $\forall n \in N^{*}, S_{2 n} < k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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19、正四面体 $P - A B C$ 的三条棱 $P A, P B, P C$ 是圆锥 $P O$ 的三条母线，点 $A, B, C$ 在圆锥 $P O$ 的底面内，过 $P A$ 且与圆锥 $P O$ 底面垂直的平面与圆锥侧面交于 $P D$ （不同于 $P A$ ）.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P B D$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值.

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20、为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.

(1)、依据频率分布直方图，完成以下 $2 \times 2$ 列联表：

成绩不低于总体均分
成绩低于总体均分
合计
每天整理错题

未每天整理错题

合计

(2)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关.
附 $: X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.10
0.01
0.001
$χ_{α}$
2.706
6.635
10.828

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	成绩不低于总体均分	成绩低于总体均分	合计
每天整理错题
未每天整理错题
合计

$α$	0.10	0.01	0.001
$χ_{α}$	2.706	6.635	10.828