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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (0, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $(\vec{a} - λ \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2、已知 $\frac{z}{1 + i} = - 2 - i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、10 B、 $\sqrt{10}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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3、若集合 $A = \{x |0 \leq x \leq 4\}$ ， $B = \{x |x \geq 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x | 2 \leq x \leq 4\}$ B、 $\{x |x \geq 2\}$ C、 $\{x |x \geq 0\}$ D、 $\{x |x \leq 4\}$

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4、2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以 $4 : 2$ 的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则“莎头”组合再次以 $4 : 2$ 获胜的概率为（）

A、 $\frac{80}{729}$ B、 $\frac{160}{729}$ C、 $\frac{80}{243}$ D、 $\frac{160}{243}$

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5、已知 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 展开式中二项式系数之和为64，则（）

A、 $n = 5$ B、展开式的各项系数之和是1 C、展开式中第4项的二项式系数最大 D、展开式中常数项为240

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6、某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为 $\frac{3}{4}$ .甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动.乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立.

(1)、求甲通过第一轮挑战赛的概率；

(2)、求乙通过第一轮挑战赛的概率；

(3)、求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率.

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7、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $α$ ， $β$ 为锐角， $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{9 \sqrt{10}}{50}$ ，求 $f (β)$ 的值.

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8、如图，在四棱锥 $D - A B C E$ 中，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ， $A B / / C E$ ， $A B = 2 C E$ ， $D A = D E$ ， $G$ 为 $A E$ 的中点，点 $P$ 在线段 $B D$ 上， $C P / /$ 平面 $A D E$ .

(1)、证明： $D G ⊥ A B$ ；

(2)、求 $\frac{B P}{D P}$ 的值.

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9、已知四边形 $A B C D$ 的顶点都在半径为2的圆 $O$ 上，且 $A D$ 经过圆 $O$ 的圆心， $B C = 2$ ， $C D < A B$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为 $3 + \sqrt{3}$ ，则 $A B =$ .

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10、已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 9$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为.

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11、函数 $f (x) = 2^{x^{2}}$ 的值域为.

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12、下列函数中是偶函数的是（）

A、 $y = \sin (x + \frac{π}{2})$ B、 $y = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = 2 \ln x$ D、 $y = e^{| x |}$

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13、已知 $\sin (α - \frac{π}{5}) + \cos (α - \frac{π}{5}) = 2 \sqrt{2} \cos \frac{π}{20} \sin α$ ，则 $\sin (α - \frac{π}{20}) =$ （）

A、 $0$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $1$

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 3$ ， $A D = 4$ ，则该四棱锥外接球的表面积为（）

A、 $\sqrt{34} π$ B、 $2 \sqrt{34} π$ C、 $34 π$ D、 $136 π$

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15、某射击运动员射击5次的成绩如下表：
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
9环
9环
10环
8环
9环
下列结论正确的是（）

A、该射击运动员5次射击的平均环数为9.2 B、该射击运动员5次射击的平均环数为9.5 C、该射击运动员5次射击的环数的方差为1 D、该射击运动员5次射击的环数的方差为 $\frac{2}{5}$

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16、复数 $z = \frac{2 + 2 i}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、1 B、2 C、 $i$ D、 $2 i$

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17、已知集合 $A = \{x| 1 < x^{4} < 20\}$ ， $B = \{1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{2\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $\frac{b}{2 c - b} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 是线段 $B C$ 上的一点， $B D : D C = 1 : 2$ ， $A D = 2$ ，且内角 $A \leq B$ ，求 $a$ 的最小值.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ . $A B = P A = 4$ ， $F$ 是 $P B$ 中点.

(1)、求证： $P D$ ∥平面 $A C F$ ；

(2)、求点 $P$ 到平面 $A C F$ 的距离.

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20、兰州机场停车场小型机动车收费标准为：30分钟内免费.停车时长在30分钟至1小时之间的，收费为5元/辆.超过1小时后，超出部分每小时收费5元，不足1小时按1小时计费24小时内最高收费50元.现有甲、乙二人在该机场临时停小型机动车，两人停车时间均大于半小时且不超过4小时.

(1)、若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为 $\frac{1}{2}$ ，停车付费多于10元的概率为 $\frac{1}{6}$ .求甲停车付费恰为5元的概率；

(2)、若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为25元的概率.

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