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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, A B C D$ 为矩形， $A B = A D = \frac{\sqrt{2}}{2} P D$ ，点 $E$ 在棱 $P B$ 上，且直线 $P D$ 与 $C E$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ．

(1)、证明：点 $E$ 为棱 $P B$ 的中点；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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2、若函数 $f (x) = x (2^{- x} - a) - |x - 1|$ 有且仅有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ ，则实数 $a$ 的取值集合为．

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3、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x = 0, C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 4 = 0, P, Q$ 分别是 $C_{1}, C_{2}$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最大值为．

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4、已知 $i^{2} = - 1$ ，若复数 $z = (1 + i) (1 - i) + 2 i$ ，则 $|z| =$ ．

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，若满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = a$ （ $a$ 为正常数）的动点 $P (x, y)$ 的轨迹为 $C$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\exists a > 0$ ，使得曲线 $C$ 经过原点 $O$ B、 $\forall a > 1$ ，曲线 $C$ 既是轴对称图形，也是中心对称图形 C、当 $a = 1.2$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、当 $a = 8$ 时，曲线 $C$ 围成的面积大于曲线 $E : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 围成的面积

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6、声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为 $π$ 的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是 $f (x) = \frac{3}{4} sin (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$ ，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（）

A、 $g (x) = - \frac{3}{4} sin (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$ B、 $g (x) = \frac{3}{4} cos (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = \frac{3}{4} cos (\frac{2}{3} x)$ D、 $g (x) = \frac{3}{4} cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$

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7、某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据：
研究学科
性别
数学
物理
化学
生物
合计
女
15
10
24
31
80
男
45
40
18
17
120
合计
60
50
42
48
200
欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（）

A、若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B、若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C、若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D、若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n} = n^{2} + λ n (λ \in R)$ ，若 $\exists p, q \in N^{*}$ 且 $p \neq q$ ，使得 $a_{p} = a_{q} = - 120$ ，则 $λ$ 的取值个数为（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $8$ 个 D、无数个

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9、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (c, 0)$ ， $A$ ， $B$ 是其一条渐近线上的两点，且 $|A B| = 2 a$ ，若 $△ A B F$ 的面积等于 $c$ ，则 $c$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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10、已知 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 1, b + c = 2, A = \frac{π}{4}$ ，则 $sin B + sin C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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11、若 ${sin}^{2} θ = cos θ$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 3$ B、 $2 - \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} - 2$ D、 $3 - \sqrt{5}$

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12、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为1，若将其截去三棱锥 $A - A_{1} B_{1} D_{1}$ ，则剩余部分几何体的体积为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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13、已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (1, \sqrt{3})$ ，将 $\vec{O A}$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $\frac{π}{3}$ 得到 $\vec{O A^{'}}$ ，则 $\vec{O A} - \vec{O A^{'}}$ 的模等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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14、已知 $a \in R$ ，则“ $x^{2} + 2 x + a > 0$ 的解集为 $R$ ”是“ $a > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知集合 $A = \{x |3 < x < 6\}, B = \{x |x \leq 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |3 < x \leq 4\}$ B、 $\{x |x < 6\}$ C、 $\{x |4 \leq x < 6\}$ D、 $\{x |x \leq 4\}$

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16、将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），记第1行中最大的数为 $a$ ，第2行中最大的数为 $b$ ，第3行中最大的数为 $c$ ，则 $a < b < c$ 的填法共有种.

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17、若函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = φ (x) = f^{'} (x)$ 图象如图所示，则（）

A、 $φ^{'} (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty, - 3)$ B、函数 $y = f (x)$ 有两个极值点 C、函数 $y = f (x)$ 的单调递减区间为 $(- 2, 1)$ D、 $- 3$ 是函数 $y = f (x)$ 的极小值点

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18、直线 $l_{1} : a x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2} : x + (a - 2) y - 1 = 0$ ，当 $l_{1} // l_{2}$ 时，直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为.

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19、已知直线 $l : 3 x + 4 y + 2 = 0$ 上有动点 $A$ ，点 $B$ 为圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上的动点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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20、若关于x的不等式 $e^{x} + x + 2 \ln \frac{1}{x} \geq m x^{2} + \ln m$ 恒成立，则实数m的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{e^{2}}{4}$ C、 $\frac{e^{2}}{2}$ D、 $e^{2}$

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研究学科性别	数学	物理	化学	生物	合计
女	15	10	24	31	80
男	45	40	18	17	120
合计	60	50	42	48	200