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相关试卷

1、已知动点M与两个定点 $O (0, 0), A (3, 0)$ 的距离之比为 $\frac{1}{2}$ ，设动点M的轨迹为曲线C，下列说法中正确的有（）

A、曲线C的方程为 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ B、若过点A的直线l与曲线C相切，则l的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、曲线C与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的公共弦长为 $\sqrt{15}$ D、若 $B (1, 1)$ ，则 $\frac{1}{2} | M A | + | M B |$ 的最小值为 $\sqrt{2}$

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2、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{4} = 24$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{3} = 12$ B、数列 $\{S_{n} + 2\}$ 为等比数列 C、 $S_{n} = 2 a_{n} - 3$ D、 $\frac{S_{2 n} - S_{n}}{S_{n}} = 2^{n}$

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3、已知 $x ， y$ 均为正实数，且 $(x + 2) (y + 3) = 16$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、设曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ， $C_{2} : x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，若 $e_{2} = \sqrt{6} e_{1}$ ，则a＝（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5、在公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $S_{9} = 3 (a_{2} + a_{6} + a_{k})$ ，则k的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6、复数z满足 $z (1 + i) = 7 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、5 B、 $4 \sqrt{2}$ C、25 D、32

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7、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 2}, B = \{x |\frac{1}{x - 1} > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ C、 $\{x ∣ x > 1\}$ D、 $\{x ∣ x > 0\}$

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的项数为 $n (n \geq 6)$ ，若该数列前3项的和为3，最后三项的和为63，所有项的和为110，则n的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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9、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F, O$ 为坐标原点，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在抛物线 $C$ 上，若 $|M F| = 5$ ，则（）

A、 $F$ 的坐标为 $(1, 0)$ B、 $y_{0} = 4$ C、 $|O M| = 2 \sqrt{5}$ D、 $S_{△ O F M} = 2$

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10、已知 $a, m \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{4 \cdot 3^{x} + a}{3^{x} + 1}$ 和函数 $h (x) = m x^{2} - (2 m + 1) x + 4$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 图象的过点 $(0, 3)$ ，求满足不等式 $f (\log_{3} t) > 3$ 的t的最小整数值；

(2)、当 $a = - 4$ 时，对任意的实数 $x \in R$ ，若总存在实数 $t \in [0, 4]$ 使得 $f (x) = h (t)$ 成立，求正实数m的取值范围．

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11、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，且 $D (0, - 1)$ ， $△ A B C$ 的面积等于 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 图像上所有的点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，若对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in [π - m, m]$ ，当 $x_{1} > x_{2}$ 时， $f (x_{1}) - f (x_{2}) < g (x_{1}) - g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值.

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12、经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量 $L$ （单位：千克）与施肥量 $x$ （单位：千克）满足函数关系： $L (x) = \{\begin{cases} 5 (x^{2} + 6), 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{75 x}{1 + x}, 2 < x \leq 5 \end{cases}$ ，且单株水果树的肥料成本投入为 $20 x$ 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为 $25 x$ 元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）．
（1）求 $f (x)$ 的函数关系式；
（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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13、已知锐角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $P (3, 4)$ ．
（1）求 $\sin (\frac{π}{2} + 2 α)$ 的值；
（2）若锐角 $β$ 满足 $\cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，求 $\sin β$ 的值．

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14、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 5 x - 2 > 0$ 的解集是 $M$ .
（1）若 $a = 3$ ，求解集 $M$ ；
（2）若 $M = \{x| \frac{1}{2} < x < 2\}$ 解关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x}{2 x - 1} > 1$ .

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15、如图，一块边长为1的正方形区域 $A B C D$ ，在 $A$ 处有一个可转动的探照灯，其照射角 $∠ M A N$ 始终为 $\frac{π}{4}$ ，记探照灯照射在正方形 $A B C D$ 内部区域（阴影部分）的面积为 $S$ ．若设 $∠ B A M = α$ ， $α \in [0, \frac{π}{4}]$ ，则 $S$ 的最大值为．

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16、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则 $f (x) =$ ．

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + 1, x \leq 0 \\ \lg x, x > 0 \end{array}$ ，若存在不相等的实数 $a, b, c, d$ 满足 $a < b < c < d$ 且 $| f (a) | = | f (b) | = | f (c) | = | f (d) | = k$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $k \in (0, 1]$ B、 $a + b = - 2$ C、 $c d = 1$ D、 $a + b + c + d$ 的取值范围为 $(- 2, \frac{61}{10}]$

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18、(多选)若 $f (x) = 3^{x} + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、f(x)在 $[- 1, 1]$ 上单调递增 B、 $y = 3^{x} + 1$ 与y＝ ${(\frac{1}{3})}^{x} + 1$ 的图象关于y轴对称 C、f(x)的图象过点 $(0, 1)$ D、f(x)的值域为 $[1, + \infty)$

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19、对于无穷数列 $\{x_{n}\}$ 和函数 $f (x)$ ，若 $x_{n + 1} = f (x_{n}) (n \in N^{*})$ ，则称 $f (x)$ 是数列 $\{x_{n}\}$ 的生成函数.

(1)、定义在 $R$ 上的函数 $g (x)$ 满足：对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $g (2^{n + 1}) = 2 g (2^{n}) + 2^{n}$ ，且 $g (2) = 1$ ；又数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = g (2^{n})$ .
（Ⅰ）求证： $f (x) = x + \frac{1}{2}$ 是数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的生成函数；
（Ⅱ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

(2)、已知 $f (x) = \frac{2025 x + 2}{x + 2026}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的生成函数，且 $b_{}_{1} = 2$ .若数列 $\{\frac{b_{n} - 1}{b_{n} + 2}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $25 (1 - {0.99}^{n}) < T_{n} < 250 (1 - {0.999}^{n})$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ）.

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20、设函数 $f (x) = a x - \ln x + 1, a \in R$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、是否存在实数a，当 $x \in (0, e]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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