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相关试卷

1、已知 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x + 1$ B、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(e, + \infty)$ C、 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{1}{e}$ D、方程 $f (x) = - 1$ 有两个不同的解

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2、 $f (x) = x^{x}, f^{'} (x) 为 f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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3、函数 $f (x) = - ln x + x$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ 和 $(1, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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4、已知 $f (x + 1)$ 为 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 1$ 时函数 $f (x) = lg (x + 6)$ .

(1)、求 $f (- 2)$ 并求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = |x^{2} + t x + \frac{1}{2}|$ 在 $[0, 2]$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $t$ 值并求使不等式 $f (m + t) > f (2 m - t)$ 成立实数 $m$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的图象相邻对称轴之间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，若将 $f (x)$ 的图像向右移 $\frac{π}{6}$ 个单位，所得函数 $g (x)$ 为奇函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - \frac{3}{5}$ 的一个零点为 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (\frac{π}{12}, \frac{π}{3})$ ，求 $cos 2 x_{0} .$

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6、如图，以 $O x$ 为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < α < π)$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P, Q$ ，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

(1)、求 $\frac{3 sin α - 2 cos α}{2 sin α + 3 cos α}$ 的值；

(2)、若 $O P ⊥ O Q$ ，求 $sin β cos β$ 的值.

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7、设函数的定义域为 $D$ ，如果存在区间 $[a, b] \in D$ ，使得 $φ (x)$ 在 $[a, b]$ 上值域为 $[a, b]$ 且单调，则称 $[a, b]$ 为函数 $φ (x)$ 的保值区间.已知幂函数 $f (x) = (p^{2} + p - 1) x^{p - \frac{1}{2}}$ 在 $(0, + \infty)$ 上是单调增函数.
（1）函数 $f (x)$ 的解析式 $f (x) =$ ；
（2）若函数 $φ (x) = 2 f (x + 1) - k$ 存在保值区间，则实数 $k$ 的取值范围是.

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8、函数 $f (x) = \sin x + 2 \cos x$ 取得最大值时 $\sin x$ 的值是.

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9、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{3}{x}$ 在区间 $(1, 2)$ 上有一个零点 $x_{0}$ ，如果用二分法求 $x_{0}$ 的近似值（精确度为 $0.01$ ），则应将区间 $(1, 2)$ 至少等分的次数为.

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10、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $1$ ， $P$ 、 $Q$ 分别为边 $A B$ 、 $A D$ 上的动点，若 $△ A P Q$ 的周长为定值 $2$ ，则（）

A、 $∠ P C Q$ 的大小为 $45^{\circ}$ B、 $△ P C Q$ 面积的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ C、 $P Q$ 长度的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$ D、点 $C$ 到 $P Q$ 的距离可以是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ 图象关于原点对称 B、函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ 且对任意实数 $x 、 y$ 恒有 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ .则 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - m x + 1)$ 的定义域为 $R$ ，则 $m \in (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - m x + 1)$ 的值域为 $R$ ，则 $m \in (- \infty, - 2]\cup[2, + \infty)$

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12、已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + \frac{π}{6}) + 2 (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递减，且在区间 $[0, π]$ 上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{11}{12}$ D、 $\frac{13}{12}$

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13、已知命题 $\exists x \in R, 2 a x^{2} + a x - \frac{3}{8} \geq 0$ 为假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 3$ 或 $a > 0$ B、 $- 3 < a \leq 0$ C、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 0$ D、 $- 3 < a < 0$

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14、“喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强 $m$ 与参考声强 $m_{0}$ 之比的常用对数称作声强的声强级，记作 $L$ （单位：分贝），即 $L = lg \frac{m}{m_{0}}$ .若某处“喊泉”的声强级 $L$ （单位：分贝）与喷出的泉水高度 $x$ （单位：分米）满足关系式 $L = 0.4 x$ ， $A, B$ 两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若 $A$ “喊泉”喷出泉水的高度比 $B$ “喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则 $A$ “喊泉”的声强是 $B$ “喊泉”声强的（）

A、5倍 B、10倍 C、20倍 D、100倍

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15、函数 $y = [x]$ 在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[1.5] = 1$ ， $[- 2.3] = - 3$ ， $[3] = 3$ .那么使不等式 $4 {[x]}^{2} - 12 [x] + 5 \leq 0$ 成立的 $x$ 的范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{3}]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[1, 3)$ D、 $[1, 3]$

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16、函数 $f (x) = |x| + \frac{a}{x^{2}} (a \in R)$ 的图像不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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17、若 $\sin θ = \frac{4}{5}$ ， θ为第二象限角，则 ${[\cos (\frac{π}{2} - \frac{θ}{2})]}^{2} =$ （）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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18、已知条件 $α : x > 1$ ， $β : \frac{1}{x} < 1$ ，则 $α$ 是 $β$ 的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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19、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是

A、B=A∩C B、B∪C=C C、A $⫋$ C D、A=B=C

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20、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $I$ ，设 $x_{0} \in I$ ，曲线在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $(x_{1}, 0)$ ，当 $n \geq 1$ 时，设曲线在点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $(x_{n + 1}, 0)$ ，依次类推，称得到的数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $y = f (x)$ 关于 $x_{0}$ 的“ $N$ 数列”，已知 $f (x) = 2 x - ln (x + 1)$ .

(1)、求证： $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点；

(2)、若 $g (x) = f^{'} (x), \{a_{n}\}$ 是函数 $y = g (x)$ 关于 $a_{0} = - \frac{3}{4}$ 的“ $N$ 数列”，记 $b_{n} = {log}_{2} |2 a_{n} + 1|$ .
①证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，并求其通项公式；
②记 $c_{n} = \sqrt{\frac{n - 1}{(n + 1) \log_{2} (- b_{n})}}$ ，（ $n \in N^{*}$ ），证明： $c_{1} + c_{2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} < 2 \sqrt{n}$ .

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