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相关试卷

1、已知 $sin 2 α = 2 sin 2 β$ ， $cos 2 α = 4 {sin}^{2} β$ ，则 $cos (2 α + β) =$ （）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、下列说法错误的是（）

A、若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则当 $σ$ 较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量 $X$ 的分布较集中 B、在做回归分析时，用决定系数 $R^{2}$ 刻画模型的回归效果，若 $R^{2}$ 越大，则说明模型拟合的效果越好 C、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为3，则 $3 x_{1} + 1, 3 x_{2} + 1, \dots, 3 x_{n} + 1$ 的平均数为10 D、一组数据6，7，7，8，10，12，14，17，19，21的第80百分位数为17

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3、“ $a \in R$ 且复数 $(a + i) (1 - a i) \in R$ ”是“ $a = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、从编号为1，2，…， $n (n \in N^{*})$ 的座位中按照如下方式选取座位：选取至少 $2$ 个座位，并且选取的座位中没有相邻的座位，则称这样的座位选取方案称为“社交排位”．

(1)、若 $n$ 个座位排成一排，对应的“社交排位”数为 $u_{n}$ ，例如 $n = 1$ 时，由于至少要选取2个座位，因此 $u_{1} = 0; n = 3$ 时，由于只能选取第1，3个座位，因此 $u_{3} = 1$ ．
（i）求 $u_{4}, u_{5}$ ；
（ii）求使 $u_{n} \geq 300$ 的最小正整数 $n$ ，

(2)、若 $n$ 个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为 $r_{n}$ ，求数列 $\{r_{n}\}$ 中第2025个奇数对应的 $n$ ．

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5、已知函数 $f (x) = x \ln x - 1$ ，函数 $f (x)$ 图象上的一点 $(x_{0}, f (x_{0})) (x_{0} \neq \frac{1}{e})$ ，按照如下的方式构造切线 $l_{n} (n \in N^{*})$ ：在点 $(x_{n - 1}, f (x_{n - 1}))$ 处作 $f (x)$ 的切线 $l_{n}$ ，记切线 $l_{n}$ 与x轴交点的横坐标为 $x_{n}$ ．

(1)、写出 $x_{n}$ 与 $x_{n - 1}$ 的递推关系式；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为r，且 $x_{0} > r$ ．
（i）证明：当 $x_{n - 1} > r$ 时， $x_{n} > r$ ；
（ii）证明：对于任意的 $C \in [\frac{1}{2}, 1)$ ，都有 $|x_{n} - r| < C^{n} |x_{0} - r|$ ．

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6、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时， $| P F | = \frac{1}{2}$ ， R是直线 $y = 2$ 上一动点， $| P R |$ 的最小值为1．

(1)、求E的方程：

(2)、过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求 $△ R M N$ 面积的取值范围．

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7、已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °, A A_{1} = A_{1} B_{1} = 1$ ， E是 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $D D_{1} ⊥$ 平面 $A D_{1} E$ ；

(2)、求平面 $A D_{1} E$ 与平面 $A_{1} D_{1} E$ 夹角的余弦值．

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8、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， BC边上的高等于 $\frac{\sqrt{3}}{4} B C$ ．

(1)、求 $\sin B \sin C$ 的值；

(2)、若 $B C = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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9、将五张标有 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按 $1 - 3 - 5 - 4 - 2$ 取走卡片的顺序是“和谐序”，按 $1 - 5 - 2 - 3 - 4$ 取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这 $5$ 张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为．

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ， C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且 $| F A | = 3 | F B |$ ，则 $△ T F A$ 的面积等于．

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11、对于 $n \in N^{*}$ ，将n表示为 $n = a_{0} \cdot 3^{0} + a_{1} \cdot 3^{1} + a_{2} \cdot 3^{2} + \dots + a_{k} \cdot 3^{k}$ ．其中 $a_{i} \in {- 1, 0, 1} (i = 0, 1, 2, \dots, k), a_{k} \neq 0$ ．记 $I (n)$ 为上述表示中 $a_{i}$ 为0的个数（例如 $8 = (- 1) \cdot 3^{0} + 0 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{2}$ ，则 $I (8) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $I (9) = 2$ B、 $I (3^{n} - 1) = n - 1$ C、 $I (9 n) = I (n) + 2$ D、 $I (9 n + 4) = I (n) + 4$

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f^{2} (x) + f^{2} (y) = f (x + y) f (x - y) + 1$ ， $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (3) = 0$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 的最大值为 $1$

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13、已知函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称

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14、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 均不为0，则下列等式不恒成立的是（）

A、 $\bar{z_{1} - z_{2}} = \bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}$ B、 $|z_{1} - z_{2}| = |{\bar{z}}_{1} - {\bar{z}}_{2}|$ C、 $z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2} = {\bar{z}}_{1} \cdot z_{2}$ D、 $|z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2}| = |{\bar{z}}_{1} \cdot z_{2}|$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合 $S = \{\cos a_{n} ∣ n \in N^{*}\}$ ，若 $S = {a, b, c}$ ，则 $a + b + c =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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16、已知函数 $f (x) = a e^{x} - e^{- x}$ （a为常数），则（）

A、 $\forall a \in R, f (x)$ 为奇函数 B、 $\exists a \in R, f (x)$ 为偶函数 C、 $\forall a \in R, f (x)$ 为增函数 D、 $\exists a \in R, f (x)$ 为减函数

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17、已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）

A、 $36 \sqrt{3}$ B、 $36 \sqrt{6}$ C、 $108 \sqrt{3}$ D、 $108 \sqrt{6}$

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18、若 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$

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19、在四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ ，则“ $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ”是“四边形 $A B C D$ 是正方形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、双曲线 $4 x^{2} - y^{2} = 4$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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