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相关试卷

1、 $n (n \in N^{*}, n \geq 3)$ 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的 $n - 1$ 个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第 $k (k \in N^{*})$ 次传球后，球在甲手中的概率记为 $A_{n} (k)$ ，球在乙手中的概率记为 $B_{n} (k)$ ．

(1)、求 $A_{5} (2), B_{5} (2), A_{5} (3), B_{5} (3)$ ；

(2)、求 $A_{n} (k)$ ；

(3)、比较 $B_{n} (k + 1)$ 与 $\frac{n - 2}{n - 1} A_{n} (k)$ 的大小，并说明理由．

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c = a (1 + 2 cos B)$ ．

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、若 $a = 3 ， b = 2 \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 3 \sqrt{2}, A B = 6$ ，点 $D$ 在 $△ A B C$ 内部运动（包括边界），点 $D$ 到棱 $P A, P B, P C$ 的距离分别记为 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ ，且 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} = 20$ ，则点 $D$ 运动路径的长度为．

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4、将 $1, 2, 3, \dots, 9$ 这9个数字填在 $3 \times 3$ 的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有种．

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5、已知 $cos α sin(α - β) - sin α cos (β - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin β =$ ．

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6、如图，半径为1的动圆 $C$ 沿着圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 外侧无滑动地滚动一周，圆 $C$ 上的点 $P (a, b)$ 形成的外旋轮线 $Γ$ ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点 $P$ 与点 $A (1, 0)$ 重合．以下说法正确的有（）

A、曲线 $Γ$ 上存在到原点的距离超过 $2 \sqrt{3}$ 的点 B、点 $(1, 2)$ 在曲线 $Γ$ 上 C、曲线 $Γ$ 与直线 $x + y - 2 \sqrt{2} = 0$ 有两个交点 D、 $|b| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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7、已知函数 $f (x) = ln \frac{4 - x}{x} + a x$ 在 $x = 3$ 处取得极大值， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $a = \frac{4}{3}$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ C、 $f^{'} (2 + x) = f^{'} (2 - x)$ D、当 $1 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 3$ 且 $x_{1} + x_{2} < 4$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{16}{3}$

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8、某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（）

A、两组数据的平均数相等 B、第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C、两组数据的极差相等 D、第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数

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9、定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (3) = 0$ ，若关于 $x$ 的不等式 $(m x - 2) f (x - 2) \geq (n x + 3) f (2 - x)$ 的解集为 $[- 1, + \infty)$ ，则 $e^{m - 2 n} + e^{n + 1}$ 的最小值为（）

A、 $2 e^{3}$ B、 $2 e^{2}$ C、 $2 e$ D、 $2 \sqrt{e}$

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10、已知 $ω > 0$ ，曲线 $y = cos ω x$ 与 $y = cos (ω x - \frac{π}{3})$ 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\sqrt{3} π$

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11、已知实数 $a ， b$ 满足 $3^{a} = 4^{b}$ ，则下列不等式可能成立的是（）

A、 $b < a < 0$ B、 $2 b < a < 0$ C、 $0 < a < b$ D、 $0 < 2 b < a$

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12、已知点 $P$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，且点 $P$ 到 $C$ 的两条渐近线的距离之积等于 $\frac{a^{2}}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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13、已知球 $O$ 的表面积为 $4 π$ ，一圆台的上、下底面圆周都在球 $O$ 的球面上，且下底面过球心 $O$ ，母线与下底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则该圆台的侧面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$ D、 $3 π$

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14、已知集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq a\} ， B = \{x ∣ x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 2]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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15、已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{2 x} + 1) - b x (a > 0, a \neq 1, b \in R)$ 为偶函数．
（Ⅰ）求 $b$ 的值；
（Ⅱ）若 $a^{f (1)} = \frac{2}{3} (a^{2} - \frac{1}{a^{2}})$ ，求 $a$ 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数 $g (x) = f (x) - \log_{a} (k \cdot 2^{x} + 2 \sqrt{2} k) (k > 0)$ 在 $R$ 上只有一个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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16、某企业新研发了一款产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 $R (x)$ （单位：元）与时间 $x$ （单位：天）的函数关系近似满足 $R (x) = 10 + \frac{10}{x}$ ，该产品的日销售量 $P (x)$ （单位：个）与时间 $x$ 部分数据如下表所示：
$x$
5
10
15
20
25
30
$P (x)$
105
110
115
120
115
110

(1)、现提供两种函数模型：① $P (x) = a e^{b x}$ ；② $P (x) = a |x - 20| + b$ ，请你根据上表中的数据特征，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该产品的日销售量 $P (x)$ 与时间 $x$ 的函数关系，并求出该函数的解析式；

(2)、求该产品的日销售总收入 $Q (x) (1 \leq x \leq 30, x \in N^{*})$ （单位：元）的最小值.（注：日销售总收入 $=$ 日销售价格 $\times$ 日销售量）

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17、已知函数 $f (x) = (a + 1) x^{2} - x + 1$ ．

(1)、若对 $\forall x \in [1, 3]$ ， $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq x^{2} + a x$ 的解集．

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18、写出使“不等式 $a^{x} < a^{x - 2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）对一切实数 $x$ 都成立”的 $a$ 的一个取值．

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19、请写出一个在 $(0, + \infty)$ 上单调递减且为偶函数的幂函数．

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20、函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) + f (1 + x) = x^{2} + 1$ ， $f (2 + x) = f (2 - x) + 4 x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $f (3) = \frac{9}{2}$ B、 $f (2) + f (4) = 6$ C、 $y = f (x + 2) - 2 x$ 为偶函数 D、当 $x \geq 0$ 时， $f (x + 4) - f (x) \geq 8$

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$x$	5	10	15	20	25	30
$P (x)$	105	110	115	120	115	110