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相关试卷

1、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，点 $(2, 3)$ 在 $E$ 上．

(1)、求 $E$ 的方程．

(2)、设 $B$ 是双曲线 $E$ 的左顶点，过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $P 、 Q$ 两点，直线 $B P, B Q$ 分别与直线 $x = \frac{1}{2}$ 交于 $M 、 N$ 两点.试探究：是否存在定点 $T$ ，使得以 $M N$ 为直径的圆过点 $T$ ？若存在求点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是直角梯形， $B C ∥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD， $P A = P B$ ， $A P ⊥ B P$ ， $B A = 2$ ， $B C = 1$ ， $A D = 3$ ，点E为线段PD上的动点．

(1)、若平面 $P B C \cap$ 平面 $P A D = l$ ，求证： $B C ∥ l$ ；

(2)、若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求 $\frac{P E}{P D}$ 的值．

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3、已知点 $A (2, 2)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = 16$ .
（1）若点 $P$ ､点 $Q$ 都为圆 $C$ 上的动点，且 $∠ P A Q = 90 °$ ，求弦 $P Q$ 中点所形成的曲线 $G$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 过点 $B (3, 2)$ ，且被（1）中曲线 $G$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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4、在平面直角坐标系xOy中，若直线 $y = k (x - 3 \sqrt{3})$ 上存在一点P，圆x²＋（y－1）²＝1上存在一点Q，满足 $\vec{O P} = 3 \vec{O Q}$ ，则实数k的最小值为．

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5、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，点P在C上，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或1 D、1或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6、设抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $P (- 1 ， 0)$ 作斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\frac{|A F|}{|B F|} = \frac{1}{3}$ ，则 $k =$ （　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）．

A、 $(- 3, 0)$ B、 $(- \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(- 3, \sqrt{3})$ D、 $(- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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8、已知集合S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的 $k \in N^{*}$ .且 $1 \leq k \leq n$ ，总存在平面中的一条直线恰通过S中的k个不同的点，称集合S为n连续共线点集.

(1)、若 $S = \{(x, y) ∣ x \in \{0, 1, 2\}, y \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\} ，$ 判断S是否为3连续共线点集?是否为4连续共线点集?

(2)、已知集合S为n连续共线点集，记集合S的元素个数为 $|S|$ .
（i）若 $|S| = 6$ ，求n的最大值；
（ii）对给定的正整数n，求 $|S|$ 的最小值.

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9、甲、乙两盒子中各有 $2$ 枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄.称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记 $n$ 次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为 $P_{n}$ .

(1)、求 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的值；

(2)、求数列 $\{P_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、并求使不等式 $|P_{n} - \frac{2}{3}| \leq \frac{1}{3 \times 10^{4}}$ 成立 $n$ 的最小值.

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10、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = e^{x} - m {(x + 1)}^{2}, m \in R$ .

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个零点，求m的取值范围.

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11、如图1，在平面五边形 $A B C D E$ 中， $A E ∥ B D$ ，且 $D E = 4$ ， $∠ E D B = 60^{\circ}$ ， $C D = B C = 2 \sqrt{7}$ ， $\cos ∠ D C B = \frac{5}{7}$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折起，使点 $C$ 到点 $P$ 的位置，且 $E P = 2 \sqrt{3}$ ，得到如图 $2$ 所示的四棱锥 $P - A B D E$ .

(1)、求证： $P E ⊥$ 平面 $A B D E$ ；

(2)、若 $A E = 2$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B D$ 所成锐二面角的余弦值.

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ， $3 b^{2} = \sqrt{6} a$ ， P为y轴上一点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过F点作与直线PF垂直的直线交C于M，N两点，当△PMN的面积为 $2 \sqrt{3}$ 时，求直线MN的方程.

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13、如图，现有棱长为 $4 cm$ 的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥 $A_{1} - E F G ，$ 且 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为棱 $A_{1} A$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 上离 $A_{1}$ 最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为cm.

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14、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ $(a > 0)$ 它的一条渐近线与直线 $3 x - 2 y + 1 = 0$ 垂直，则该双曲线的离心率 $e =$ .

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15、下面这些图中，能一笔画连成的有（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N （ 4, σ^{2} ）,$ 且 $P （ X < m ） = P （ X > n ）$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $E （ 3 X + 1 ） = 12$ B、 $m + n = 8$ C、 $P （ X \geq 3 + σ ） > P （ X \leq 3 - σ ）$ D、若 $P （ X \geq 3 ） = 0.68$ ，则 $P （ 3 \leq X < 5 ） = 0.36$

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17、设点 $P$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 = 0$ 的一个交点，过点 $P$ 作直线 $P Q$ 交圆 $M$ 于另一点 $Q$ ，交圆 $O$ 于另一点 $R$ ，若 $2 \vec{O Q} = \vec{O P} + \vec{O R}$ ，则直线 $P Q$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \frac{5}{3}$ C、 $\pm \frac{3}{5}$ D、 $\pm \frac{3}{5} \sqrt{2}$

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18、函数 $f (x) = x^{5} + \sin x + 1$ ， $f (3 m) + f (n - 1) = 2$ ，且 $m > 0, n > 0$ ，则 $\frac{3}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、8 B、10 C、14 D、16

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19、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{7} < S_{5} < S_{6}$ ，则数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 中最小项为（）

A、 $\frac{S_{5}}{a_{5}}$ B、 $\frac{S_{6}}{a_{6}}$ C、 $\frac{S_{7}}{a_{7}}$ D、 $\frac{S_{8}}{a_{8}}$

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20、已知 $2 \tan α - 2 \tan β = 1 - \tan α \tan β$ ， $\tan (α - β) = 2$ ，则 $\tan α - \tan β =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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