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相关试卷

1、已知 $α$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $t a n β = \frac{1}{2} ．$
（1）求 $s i n α$ 的值；
（2）求 $tan (α + β)$ 的值．

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2、已知复平面内表示复数 $z = (2 m - 1) + (m + 1) i$ （ $m \in R$ ）的点为 $Z$ .

(1)、若点 $Z$ 在函数 $y = 2 x - 6$ 图像上，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，点 $A (2, - 1)$ ，且 $\vec{O Z}$ 与 $\vec{O A}$ 的夹角为钝角，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、平面内给定三个向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (4, 1)$ ．

(1)、求满足 $\vec{a} = m \vec{b} + n \vec{c}$ 的实数m，n．

(2)、若 $\vec{d}$ 满足 $\vec{d} ∥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，且 $|\vec{d}| = 5$ ，求 $\vec{d}$ 的坐标．

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4、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， O是 $△ A B C$ 的外心， $O A = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围为．

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5、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量，且 $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{a} + k \vec{b}$ ，若 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线，则 $k =$ .

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6、已知平面向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3}), \vec{b} = (3, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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7、已知 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值可能在（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、 $(\frac{2}{3}, 7)$ C、 $[7, \frac{26}{3}]$ D、 $[\frac{50}{3}, 19]$

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8、已知复数 $z = \frac{3 + i}{1 - i}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $z$ 对应的点位于第二象限 B、 $\bar{z}$ 的虚部为 $- 2$ C、 $|z| = \sqrt{5}$ D、 $z \cdot \bar{z} = 5$

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9、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2 A D$ ， $E$ 为边AB的中点，线段AC与DE交于点 $F$ ，则 $\cos ∠ A F E =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{21}}{14}$ B、 $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{14}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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10、已知 $A, B, C, D$ 是函数 $y = s i n (ω x + φ) (ω > 0,0 < φ < \frac{π}{2})$ 一个周期内的图象上的四个点，如图所示， $A (- \frac{2 π}{3}, 0), B$ 为 $y$ 轴上的点， $C$ 为图象上的最低点， $E$ 为该函数图象的一个对称中心， $B$ 与 $D$ 关于点 $E$ 对称， $\vec{C D}$ 在 $x$ 轴上的投影为 $\frac{π}{3}$ ，则 $ω, φ$ 的值为（）

A、 $ω = 2, φ = \frac{π}{3}$ B、 $ω = 2, φ = \frac{π}{6}$ C、 $ω = \frac{1}{2}, φ = \frac{π}{3}$ D、 $ω = \frac{1}{2}, φ = \frac{π}{6}$

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11、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（　　）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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12、若 $\frac{1 + s i n 2 α}{1 - 2 {s i n}^{2} α} = 5$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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13、 $\cos 40 ° \cos 20 ° - \sin 40 ° \sin 160 ° =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ，且点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 在椭圆C上．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知 $M (- 1, 0), N (1, 0)$ ，点P为椭圆C上一点．
（ⅰ）若点P在第一象限内， $N P$ 延长线交y轴于点Q， $△ O N P$ 与 $△ M P Q$ 的面积之比为1∶2，求点P坐标；
（ⅱ）设直线 $P M$ 与椭圆C的另一个交点为点B，直线 $P N$ 与椭圆C的另一个交点为点D．设 $\vec{P M} = λ_{1} \vec{M B}, \vec{P N} = λ_{2} \vec{N D}$ ，求证：当点P在椭圆C上运动时， $λ_{1} + λ_{2}$ 为定值．

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15、意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中c为参数．当 $c = 1$ 时，该方程就是双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ．相应地就有双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ．已知三角函数的三个关系式：①平方关系： ${sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ ；②二倍角关系： $sin 2 x = 2 sin x cos x$ ；③导数关系： $\{\begin{array}{l} (sin x)^{'} = cos x, \\ (cos x)^{'} = - sin x . \end{array}$

(1)、类比关系式①②③，写出 $ch (x)$ 和 $sh (x)$ 之间的三种关系式（不需要证明）；

(2)、当 $x > 0$ 时，不等式 $sh (x) \geq k x$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a, a_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} - 1$ ，是否存在实数 $a$ ，使得 $a_{2025} = \frac{5}{3}$ ？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，说明理由．

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16、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，以椭圆 $E$ 短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点 $P (0, 2)$ 的直线 $A B, C D$ 分别交椭圆 $E$ 于点 $A, B, C, D$ ，点 $A$ 始终在第一象限且与点 $D$ 关于 $y$ 轴对称，直线 $A C, B C$ 分别交 $y$ 轴于点 $G, M$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、求点 $G$ 的坐标；

(3)、证明： $|A B| = 2 |A P| \cdot |M G|$ ．

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17、已知函数 $f (x) = ln (|x| + a) + b |x|$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值．

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18、如图，在斜棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A_{1} A = A B$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ A_{1} A$ ；

(2)、若 $A_{1} A = A_{1} C = 2$ ，求 $B D$ 的长度．

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19、东湖公园统计连续 $5$ 天入园参观的人数（单位：千人）如下：
日期
$1$ 月 $13$ 日
$1$ 月 $14$ 日
$1$ 月 $15$ 日
$1$ 月 $16$ 日
$1$ 月 $17$ 日
第 $x$ 天
$1$
$2$
$3$
4
$5$
参观人数 $y$
$2.4$
$2.7$
$4.1$
$6.4$
$7.9$

(1)、建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，预测第 $13$ 天入园参观人数；

(2)、东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为 $\frac{1}{3}$ ，从不同一个门出园的概率为 $\frac{2}{3}$ ．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率．
附：参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 85.2$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ， $\bar{x} = 3$ ， $\bar{y} = 4.7$ ．
参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20、在某平台开展闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会．已知用户在第一关抽到奖品的概率为 $\frac{2}{5}$ ．从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为 $\frac{2}{3}$ ；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为 $\frac{1}{3}$ ．记用户第 $n$ 关抽到奖品的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{n}$ 的最大值为．

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日期	$1$ 月 $13$ 日	$1$ 月 $14$ 日	$1$ 月 $15$ 日	$1$ 月 $16$ 日	$1$ 月 $17$ 日
第 $x$ 天	$1$	$2$	$3$	4	$5$
参观人数 $y$	$2.4$	$2.7$	$4.1$	$6.4$	$7.9$