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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = a^{2} - 3 a i$ ， $z_{2} = - a + (a^{2} + 2) i$ ， $a \in R$ ，若 $z_{1} + z_{2}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为.

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2、已知函数 $y = f (x + 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且 $\forall x \in R$ ，有 $f (x) + f (- x) = 2$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = \sin x + 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (x) = f (x + 8)$ B、 $f (x)$ 的最大值为 $1 + \sin 2$ C、 $f (2022) = 1 + \sin 2$ D、 $y = f (x + 2) - 1$ 为奇函数

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A = \frac{π}{3}$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面上一点，设 $\vec{A O} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $m = \frac{2}{3}$ B、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $m + n = \frac{2}{3}$ C、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $m + 3 n = \frac{4}{5}$ D、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $m + 2 n = \frac{2}{5}$

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4、设复数为 $z = 1 + i$ ，则下列命题正确的是（）

A、 ${|z|}^{2} = z \cdot \bar{z}$ B、 $z^{2} = z \cdot \bar{z}$ C、 $z^{2} = {(\bar{z})}^{2}$ D、 $|z^{2}| = {|z|}^{2}$

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5、如图， $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且 $A E = \frac{1}{2}$ ， $A F = 2$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，线段 $E F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，则 $|\vec{A G}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ C、 $\frac{2}{7} \sqrt{13}$ D、 $\frac{2}{5} \sqrt{13}$

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6、如图，在山脚 $A$ 处测得山顶 $P$ 的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走 $2km$ ，在 $B$ 处测得山顶 $P$ 的仰角为75°，则山高为（） $km$

A、 $\sqrt{6}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

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7、如图，平行四边形 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ，以 $A B$ 所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、 $3 \sqrt{3} π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{3}{2} π$

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8、已知空间中三条直线 $l$ 、 $m$ 、 $n$ ，那么“ $l$ 、 $m$ 、 $n$ 两两相交”是“ $l$ 、 $m$ 、 $n$ 共面”的（）条件

A、充分不必要 B、充要 C、既不充分也不必要 D、必要不充分

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9、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 10$ ， $|\vec{b}| = 6$ ，且 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，设 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $λ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10、如图，这是水平放置的四边形，按照斜二测画法画出的直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，其中 $A^{'} D^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ， $A^{'} B^{'} = 1$ ， $A^{'} D^{'} / / B^{'} C^{'}$ ，则四边形 $A B C D$ 的周长是（）

A、8 B、 $7 + \sqrt{5}$ C、 $8 + 2 \sqrt{2}$ D、 $7 + 2 \sqrt{2}$

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11、复数 $z_{1} = 12 + 3 i$ ， $z_{2} = - i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面内所对应的点在第（）象限.

A、一. B、二. C、三. D、四.

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12、已知 $A = \{x |y = {log}_{2} (x + 1)\}$ ， $B = \{x |- 2 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $(- 1, 2]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $[- 1, 2)$

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13、已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角 $∠ A C D$ 的平分线，CB与AD相交于点O， $A C = 5$ ， $A D = 7$ ， $\cos ∠ A C D = - \frac{1}{5}$ .

(1)、求 $\sin ∠ A C O$ 的值；

(2)、求 $C O$ 的长；

(3)、若 $B C = B D$ ，求 $△ A B D$ 的面积.

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14、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D_{1} D = 2$ ， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = 3$ .

(1)、求证： $A_{1} A / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} A$ 到平面 $C_{1} B D$ 的距离.

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15、已知 $△ A B C$ 中， $2 (\cos^{2} A - \cos^{2} B + \sin^{2} C) = \sin B \sin C$ .

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、 $D$ 为边 $B C$ 的中点，若 $A D = A B$ ，求 $\frac{\sin C}{\sin B}$ .

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16、在 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 边上靠近B的三等分点，若 $∠ A C D = \frac{π}{3}$ ， $A D = \sqrt{3}$ .① $△ A B C$ 面积的最大值；② $B C$ 的最小值.

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17、在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设 $A B = m A M, A C = n A N$ ，则 $4 m + n =$ ．

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18、如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 $A, B$ 两点，从 $A, B$ 两点分别测得树尖的仰角为 $30^{°}, 45^{°}$ ，且 $A, B$ 两点间的距离为 $60m$ ，则树的高度为m.

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19、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ， P为 $C C_{1}$ 的中点，点Q满足 $\vec{D Q} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $λ + μ = \frac{1}{3}$ ，则四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $△ A_{1} B Q$ 的外心为O，则 $\vec{A_{1} B} \cdot \vec{A_{1} O}$ 为定值2 C、若 $A_{1} Q = \sqrt{5}$ ，则点Q的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{4}$ D、若 $λ = 1$ 且 $μ = \frac{1}{2}$ ，则存在点 $E \in A_{1} B$ ，使得 $A E + E Q$ 的最小值为 $\sqrt{9 + 2 \sqrt{10}}$

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20、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若动点 $P$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上（正方形 $A B C D$ 内部，含边界），则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, 20]$ B、 $[0, 16]$ C、 $(0, 18]$ D、 $[0, 24]$

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