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相关试卷

1、已知 $f (x) = {(2 x - 3)}^{n}$ 的展开式的二项式系数的和为512，且 $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{n} {(x - 1)}^{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 1$ B、 $∣ a_{0} ∣ + ∣ a_{1} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣ = 3^{9}$ C、 $f (6)$ 除以8所得的余数为1 D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = 18$

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2、等差数列的特点是每一项与前一项之差相等．如果数列 $\{a_{n}\}$ 不是等差数列，但每一项与前一项之差构成等差数列，即 $\{a_{n} - a_{n - 1}\}$ 是等差数列，则 $\{a_{n}\}$ 叫作二阶等差数列．与前述类似，若 $\{a_{n} - a_{n - 1}\}$ 是二阶等差数列，则 $\{a_{n}\}$ 叫作三阶等差数列．如此可以对更大的整数 $m$ 归纳地定义 $m$ 阶等差数列．高阶等差数列的研究，始于北宋科学家沈括《梦溪笔谈》中的隙积术，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中明确地推得一些对高阶等差数列求和公式，元代数学家朱世杰将此类问题进一步推广．

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列，其前5项分别为2，3，5，8，12．
①求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
②求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = n$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，若将数列 $\{T_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}^{(2)}$ ，数列 $\{T_{n}^{(2)}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}^{(3)}, \dots \dots$ 依次类推．
①求 $T_{n}^{(3)}$ ；
②求 $T_{n}^{(m)}$ （只写出结果）．
参考数据： $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$ ．

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3、已知拋物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, Γ$ 上任意一点 $P$ 到 $F$ 的距离与到点 $E (2, 0)$ 的距离之和的最小值为3．

(1)、求拋物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、已知过点 $E$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$ 与 $Γ$ 分别交于点 $A, C$ 与点 $B, D$ ，延长 $A B, D C$ 交于点 $Q$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 的中点分别为 $M, N$ ．
①证明：点 $Q$ 在定直线上；
②若直线 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，直线 $O M, O N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的取值范围．

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4、设函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1 (a \in R)$ ，函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ．

(1)、求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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5、某学校有 $A, B$ 两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐．如果第一天去 $A$ 餐厅，那么第二天去 $A$ 餐厅的概率为0.4；如果第一天去 $B$ 餐厅，那么第二天去 $A$ 餐厅的概率为0.8．

(1)、求王同学第二天去 $A$ 餐厅用餐的概率；

(2)、王同学某次在 $A$ 餐厅就餐，该餐厅提供4种西式点心，2种中式点心，王同学从这些点心中随机选择3种点心，记选择西式点心的种数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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6、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C, ∠ A B C = \frac{π}{2}, A B = B C = 2 A D = 2, E, F, G$ 分别为边 $A B$ ， $C D, B C$ 的中点，沿 $E F$ 将梯形 $A B C D$ 翻折，使平面 $A E F D ⊥$ 平面 $E B C F$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ E G$ ；

(2)、求 $B D$ 与平面 $A B F$ 所成角的正弦值．

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7、圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点 $F_{1}$ 发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点 $F_{2}$ ．如图甲，椭圆 $C$ 为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线 $l^{'}$ 表示与椭圆 $C$ 的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，焦点为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0) (c > 0)$ ．由 $F_{1}$ 发出的光经椭圆两次反射后回到 $F_{1}$ 经过的路程为 $4 \sqrt{2} c$ ．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
（1）椭圆 $C$ 的离心率为．
（2）点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，椭圆在点 $P$ 处的切线为 $l . F_{2}$ 在 $l$ 上的射影 $H$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，则椭圆 $C$ 的方程为．

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8、已知直线 $y = x - 2$ 与曲线 $y = ln (x + a)$ 相切，则 $a$ 的值为．

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9、丝绸之路是文明之路、经济之路，也是东西之间的友谊之路、合作共赢之路．甘肃，作为丝绸之路沿线的重受省份，已成功举办11届敦煌行·丝绸之路国际旅游节，在旅游节期间，需从4位志愿者中选3位安排到甲、乙、丙三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中志愿者 $A$ 不能安排在甲岗位，则不同的安排方法种数为．

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10、下列结论正确的是（）

A、由样本数据得到的回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ B、已知随机变量 $ξ \sim B (n, p)$ ，若 $E (ξ) = 30, D (ξ) = 20$ ，则 $n = 45$ C、基于小概率值 $α$ 的检验规则是：当 $χ^{2} \geq x_{α}$ 时，我们就推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 不独立．该推断犯错误的概率不超过 $α$ ；当 $χ^{2} < x_{α}$ 时，我们没有充分证据推断 $H_{0}$ 不成立，可以认为 $X$ 和 $Y$ 独立 D、若散点图中所有点都在直线 $y = 0.92 x - 4.21$ 上，则样本相关系数 $r = 0.92$

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11、过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 作斜率为2的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点．若 $\vec{M F_{1}} = 3 \vec{F_{1} N}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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12、随机变量 $X$ 的概率分布列为 $P (X = \frac{k}{3}) = a k (k = 1, 2, 3)$ ，其中 $a$ 是常数，则 $D (9 X - 1)$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、35

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13、已知圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$ ，设该圆过点 $(2, 2)$ 的最长弦和最短弦分别为 $A C$ 和 $B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、32 B、 $12 \sqrt{2}$ C、16 D、 $6 \sqrt{7}$

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14、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差是2，若 $a_{1}, a_{4}, a_{13}$ 成等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ （）

A、 $n (n + 2)$ B、 $n (n + 1)$ C、 $n^{2}$ D、 $n (n - 1)$

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15、二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中常数项等于（　　）

A、60 B、﹣60 C、15 D、﹣15

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16、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2}), P (X > 0) = 0.7$ ，则 $P (X > 2) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.7 D、0.8

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17、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，若存在常数 $t$ ，使得 $a_{n + 1} = a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} + t (n \in N^{*})$ 恒成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $H (t)$ 数列”．

(1)、若 $c_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ ，试判断数列 $\{c_{n}\}$ 是否为“ $H (t)$ 数列”，请说明理由；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $H (t)$ 数列”，且 $a_{1} = 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，且 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} = a_{n + 1} + \log_{2} b_{n} - t$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $H (t)$ 数列”，且 $a_{1} > 1$ ， $t > 0$ ，证明： $\ln a_{n} < a_{n} - 1$ ．

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18、某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设 $A =$ “抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”， $B =$ “抽取的学生建立了个性化错题本”，且 $P (A |\bar{B}) = \frac{2}{3}, P (A) = \frac{1}{3}, P (B) = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $P (B |\bar{A})$ 和 $P (A |B)$ ；

(2)、若该班级共有36名学生，请完成 $2 \times 2$ 列联表，并分析能否有 $99 %$ 的把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关；
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及价 $\bar{A}$
不及格A

建立B

未建立 $\bar{B}$

合计

(3)、现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取6人座谈，再从这6人中随机抽取3人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为X，求X的分布列及期望．
$P (χ^{2} \geq k)$
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
（附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．）

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19、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 $\{d_{n}\}$ 中是否存在3项 $d_{m}$ ， $d_{k}$ ， $d_{p}$ （其中 $m$ ， $k$ ， $p$ 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．

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20、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A C$ ， $A B ⊥ B C, P A = 2, A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ，设 $D, E, F$ 分别为棱 $P C, A C, A B$ 的中点，且 $D F = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面 $D E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值．

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个性化错题本	期末统考中的数学成绩		合计
个性化错题本	及价 $\bar{A}$	不及格A
建立B
未建立 $\bar{B}$
合计

$P (χ^{2} \geq k)$	0.05	0.01	0.001
k	3.841	6.635	10.828