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相关试卷

1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (b, a + c)$ ， $\vec{n} = (b - c, c - a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、若边 $a = 8$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ ， $∠ B A C$ 的平分线交BC边于点D.求AD的长；

(2)、若E为BC边上任意一点， $A E = 1$ ， $\frac{B E}{E C} = \frac{2 c}{b}$ .
（ⅰ）用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A E}$ ；
（ⅱ）求 $2 b + c$ 的最小值.

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2、如图，正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A = 4$ ， $A B = 2$ ， E为SC中点.

(1)、求证： $S A ∥$ 平面BDE；

(2)、求该正四棱锥的外接球的表面积；

(3)、求三棱锥 $E - B C D$ 的表面积和体积.

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3、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $C C_{1}$ 的中点，过A， $D_{1}$ ， E三点的平面 $α$ 与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)、在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；

(2)、平面 $α$ 将正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 分成两部分，求这两部分的体积之比 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ （其中 $V_{1} \leq V_{2}$ ）；

(3)、若点P是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $A_{1} P ∥ α$ ，当 $A_{1} P$ 最小时，求 $A_{1} P$ 长度的最小值.

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4、在 $Δ A B C$ 中，已知 $A = 15^{\circ}$ ， $B = 45^{\circ}$ ， $c = 3 + \sqrt{3}$ ，解这个三角形．

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5、在圆内接四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A D = 3$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ .则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的值为.

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6、如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得 $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ B D C = 105 °$ ， $C D = 20 m$ ，在点C处测得塔顶A的仰角为 $60 °$ ，则塔高 $A B =$ $m$ ．

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7、若3+2i是关于x的方程2x²+px+q=0的一个根，则q的值是.

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，点D是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点P为线段 $A_{1} B$ 上的一个动点，下列说法正确的是（）

A、平面 $B_{1} C D$ 与底面ABC的交线平行于 $B_{1} D$ B、三棱锥 $P - B_{1} C D$ 的体积为定值 C、直线 $A_{1} B$ 与直线CD可能相交 D、 $A P + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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9、欧拉公式： $e^{i θ} = cosθ + i sinθ (i$ 是虚数单位， $e = 2.718 \dots$ ， $θ \in R)$ 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令 $θ = π$ 可得 $e^{i π} + 1 = 0$ .它又将自然界中的两个重要的无理数 $π$ 和 $e$ 、实数单位 $1$ 、虚数单位 $i$ 以及复数中的 $0$ 巧妙地结合在一起 $.$ 被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等 $.$ 下列关于欧拉公式的叙述正确的有（）

A、 $e^{2025 π i} - 1 = 0$ B、复数 $e^{3 i}$ 对应的点位于第二象限 C、 $|e^{x i}| = 1$ D、 $\bar{(e^{i θ})} = e^{\bar{i θ}}$

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10、在锐角 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $c = b (1 + 2 cos A)$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{2}, 2)$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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11、如图，两个底面半径相同的圆锥组合的一个几何体，若底面圆的半径为1，两个圆锥的母线长分别为 $2, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该几何体内切球的半径为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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12、陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示， $P$ 为圆锥的顶点， $A$ ， $B$ 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为 $6 π$ ，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（）

A、 $(33 + 9 \sqrt{2}) π$ B、 $(24 + 9 \sqrt{2}) π$ C、 $(33 + 18 \sqrt{2}) π$ D、 $(24 + 18 \sqrt{2}) π$

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13、 $(1 - 5 i) (4 + 3 i)$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，侧面PCD为正三角形，且平面PCD $⊥$ 平面ABCD， $A D // B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A D = A B = 1$ ， $B C = 2$ .

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ .

(2)、已知Q为侧棱PB上一点， $P D //$ 平面QAC.
①求 $\frac{P Q}{P B}$ 的值；
②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.

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15、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) < e^{2 x}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 3 n^{2} + k n + k$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17、已知函数 $f (x) = 9 \ln x + \frac{5}{x} + 2 x + 7$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为；若过原点可向曲线 $y =$ $f (x) - \frac{1}{2 x} + a$ 作两条切线，则a的取值范围是.（注：当 $x \to 0$ 时， $\ln x + \frac{1}{x} \to + \infty$ ）

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18、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, λ)$ ，若 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 =$ .

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19、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆C上有一点P，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为.

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20、若函数 $f (x) = \sin x + a \cos x$ 图象的一条对称轴方程为 $x = \frac{2 π}{3}$ ，则（）

A、 $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $a = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $f (x)$ 图象的一条对称轴为直线 $x = - \frac{π}{3}$ D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ 上单调递增

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