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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 5, (x \leq 1) \\ \frac{a}{x}, (x > 1) \end{cases}$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ ； B、 $[- 2, 0)$ ； C、 $[- 3, - 2]$ ； D、 $(0, + \infty)$

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2、如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是边DC，BC上的两点， $A B = 6, A D = 4$ ．

(1)、如果P，Q分别是边DC，BC的中点，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的值．

(2)、若 $∠ P A Q = \frac{π}{4}$ ，求△PAQ的面积S_△_PAQ的最小值．

(3)、若 $\vec{D P} = \frac{1}{2} \vec{P C}$ ，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大．若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由．

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3、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $\dots \dots$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计该企业的职工对该部门评分的 $50 %$ 分位数（保留一位小数）；

(3)、从评分在 $[40, 60)$ 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 $[50, 60)$ 的概率．

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4、已知圆锥的轴截面面积为 $9 \sqrt{3}$ ，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥外接球的表面积为．

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5、在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A = 60 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，且 $D$ 为 $B C$ 边上一点，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆半径 $R = \frac{\sqrt{21}}{3}$ B、若 $A D$ 是 $B C$ 边上的高，则 $A D = \frac{2}{7} \sqrt{21}$ C、若 $A D$ 是 $∠ A$ 的平分线，则 $A D = \frac{6}{5} \sqrt{3}$ D、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $A D = \frac{\sqrt{37}}{3}$

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6、已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A B = A A_{1}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $D, E, F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1}, B C, A_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A D$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ，则 $n / / α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ D、若 $β ⊥ α$ ， $γ ⊥ α$ ，则 $β / / γ$

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9、某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其他区
营业收入占比
48.6%
15.8%
20.1%
10.8%
4.7%
净利润占比
65.8%
-4.3%
16.5%
20.2%
1.8%
已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（）

A、本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 B、本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 C、本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40% D、本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区

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10、已知集合 $S_{n} = \{X |X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})\} (n \geq 2)$ ．对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) \in S_{n}$ ，给出如下定义：
①A与B之间的第一距离 $d_{1} (A, B) = \sum_{i = 1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$ ；
②A与B之间的第二距离 $d_{2} (A, B) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(a_{i} - b_{i})}^{2}}$ ．

(1)、当 $n = 2$ 时， $A (0, 0)$ ，若 $d_{1} (A, B) = d_{2} (A, B) = 1$ ，求B；

(2)、当 $n = 2$ 时，若 $d_{1} (A, B) = 1$ ，求 $d_{2} (A, B)$ 的取值范围；

(3)、若 $A, B, C \in S_{n}$ ，问：“ $d_{1} (A, C) = d_{1} (A, B) + d_{1} (B, C)$ ”是“ $d_{2} (A, C) = d_{2} (A, B) + d_{2} (B, C)$ ”的什么条件，并证明.

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11、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，点 $A$ 在平面 $B C D$ 的射影为 $O$ ， $B O ⊥ C D$ ， $A D ⊥ B C$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，二面角 $A - B C - D$ ， $A - C D - B$ 的大小分别为 $60 °$ ， $45 °$ ，且 $B C = 2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、求 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值；

(3)、求三棱锥 $A - B C D$ 的体积.

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12、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．给出如下三个条件：
① $\frac{c}{a} = \frac{sin 2 C}{2 sin B - sin C}$ ；
② $\frac{sin C - sin B}{cos B + cos A} = \frac{cos B - cos A}{sin C}$ ；
③ $\frac{b + c}{a} = cos C + \sqrt{3} sin C$ ；
从这三个条件中任选一个作为 $△ A B C$ 满足的条件，完成以下问题：

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ．角A的内角平分线交边BC于D，且 $A D = \sqrt{3}$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状并证明.

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13、从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW·h之间，进行恰当分组后（最后一组为闭区间，其余各组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求直方图中x的值；

(2)、试估计该小区用户月用电量的平均数.

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14、已知平面向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b})$ 的值；

(2)、当实数k为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ．

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15、已知圆锥的母线长为2，内切球的表面积为 $\frac{4}{3} π$ ，则圆锥的底面半径为.

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16、已知平面向量 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $λ \in R$ ，则 $∣ \vec{a} + λ \vec{b} ∣$ 的最小值为.

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17、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，且两个人的射击结果互不影响，若甲中靶的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙中靶的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则两人都中靶的概率为.

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18、已知在 $△ A B C$ 中，BC的长为2， $△ A B C$ 的面积为2，则下列命题正确的是（）

A、 $△ A B C$ 外接圆面积的最小值为 $π$ B、 $\frac{A B}{A C}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $△ A B C$ 内切圆的半径的最大值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、若 $△ A B C$ 的内角满足 $C - B = \frac{π}{2}$ ，则 $tan C = - \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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19、在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分别为 $15, 10, 12$ ，则此样本的方差不可能为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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20、复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{1} + z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $P, Q, S$ ，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{O S} = \vec{O P} + \vec{O Q}$ B、 $|z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ D、若 $\vec{O P} ⊥ \vec{O Q}$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$

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	生鲜区	熟食区	乳制品区	日用品区	其他区
营业收入占比	48.6%	15.8%	20.1%	10.8%	4.7%
净利润占比	65.8%	-4.3%	16.5%	20.2%	1.8%