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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a}{cos A} + \frac{b}{cos B} = \frac{c}{sin C}$ ．

(1)、证明： $cos A cos B = sin C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{c^{2}}{10 sin C}$ ，求 $cos C$ ．

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2、 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点， $A, C$ 两点在双曲线上且关于原点对称（点 $A$ 在第一象限），直线 $C F_{2}$ 与双曲线的另一个交点为点 $B$ ，若 $|A F_{1}| - |B F_{2}| = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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3、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ x^{2} + a x, x < 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $f (f (3)) =$ ．

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4、设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，记 $\{x\} = x - [x]$ ，则对任意实数 $x, y$ ，有（）

A、 $\{- x\} = \{x\}$ B、 $\{2 x\} = 2 \{x\}$ C、 $\{x\} + \{y\} \leq \{x + y\}$ D、 $\{x\} - \{y\} \leq \{x - y\}$

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5、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{8}$

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6、若空间中四个不同的平面 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，满足 $α_{1} ⊥ α_{2}, α_{2} ⊥ α_{3}, α_{3} ⊥ α_{4}$ ，则下面结论一定正确的是（）

A、 $α_{1} ⊥ α_{4}$ B、 $α_{1}$ $∥$ $α_{4}$ C、 $α_{1}, α_{4}$ 既不垂直也不平行 D、 $α_{1}, α_{4}$ 的位置关系不确定

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7、某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20，30，50名学生，则不同的抽样结果共有（）

A、 $C_{20}^{4} C_{30}^{6} C_{50}^{20}$ B、 $C_{20}^{5} C_{30}^{10} C_{50}^{15}$ C、 $C_{20}^{6} C_{30}^{9} C_{50}^{15}$ D、 $C_{20}^{10} C_{30}^{10} C_{50}^{10}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} + 2 = a_{n} + 3 n + S_{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求满足 $a_{n} > \frac{3 n + 5}{2}$ 的 $n$ 的最小值；

(3)、已知 $b_{n} = \frac{1}{6 a_{n} + 6 n - 20}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $- \frac{1}{2} \leq T_{n} < - \frac{1}{3}$ .

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9、若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = e^{x} - 1$ 和 $y = e^{x - 1}$ 的公切线，则实数k的值是（）

A、 $e^{- 1}$ B、 $e$ C、0 D、1

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10、固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中 $c$ 为参数．当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似的，我们可以定义双曲正弦函数 $sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，它们与正、余弦函数有许多类似性质．

(1)、判断并证明双曲余弦函数的奇偶性和单调性；

(2)、（ⅰ）证明 ${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1$ ；
（ⅱ）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明；

(3)、若函数 $y = {log}_{\frac{1}{2}} (cosh 2 x + a cosh x)$ 在 $R$ 上最大值为0，求实数 $a$ 的值．

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11、已知函数 $f (x) = 2 a x^{2} + 4 x + 1$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上有且仅存一个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{6}) - cos (x + \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{2} + x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值，及 $f (x)$ 取最小值时的 $x$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的最小正周期和单调递减区间．

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，点 $P (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ 在角 $α$ 的终边上.

(1)、求 $tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{sin α + 2 cos α}{2 sin α - cos α}$ 的值.

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14、已知正实数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 2$ ，则 $3 a + b$ 的最小值为．

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15、已知 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ， $α$ 为锐角，则 $cos α =$ ．

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16、若 $2^{x} > 1$ ，则 $x$ 的取值范围为．

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17、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的以4为周期的函数，对任意整数 $k$ ，区间 $I_{k} = [4 k - 2, 4 k + 2]$ ．当 $x \in I_{0}$ 时， $f (x) = 2^{|x|} - 1$ ．集合 $M_{k} = {a | f (x) = a x$ 在 $I_{k}$ 上有两个不相等的实根 $}$ ，则（）

A、 $f (3) = 1$ B、 $(- 2, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心 C、 $f (x) = f (4 - x)$ D、若 $k > 0$ ，则 $M_{k} = (0, \frac{3}{4 k + 2}]$

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18、下列运算正确的有（）

A、 $lg 3 + lg 4 = lg 7$ B、 ${log}_{2} 100 = 10 {log}_{2} 10$ C、 $4^{{log}_{4} 5} = 5$ D、 ${log}_{3} 4 \cdot {log}_{4} 3 = 1$

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19、已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上单调递增的奇函数．若 $f (1 + m) + f (2 m - 4) > 0$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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20、如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（）

A、 $y = \frac{1}{x^{3}}$ B、 $y = \sqrt{|x|}$ C、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ D、 $y = x^{\frac{2}{3}}$

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