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相关试卷

1、计算下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} + {(- 9.6)}^{0} + \sqrt[5]{{(- 8)}^{5}}$ ；

(2)、 ${log}_{3} 9 \sqrt{3} + {log}_{0.4} 1 + lg 2 - lg \frac{1}{5}$

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f (x + 1) = f (- x + 1)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = b + a \log_{2} (x + 4)$ ，且 $f (\frac{15}{2}) = 1 - \frac{1}{2} {log}_{2} \frac{9}{2}$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) =$ .

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3、已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{12}{13}$ ，且 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $α + β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $\cos β =$ ．

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4、下列式子化简正确的是（）

A、 $sin \frac{4 π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ C、 $sin (2024 π - α) = - sin α$ D、 $tan (α - 2025 π) = - tan α$

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5、已知 $sin (θ - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6、若 $x > 0$ ，则 $x + \frac{9}{x}$ 有（）

A、最小值3 B、最小值6 C、最大值6 D、最大值3

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7、在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角 $△ A B C$ 中，AD为斜边BC上的高， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，现将 $△ A B D$ 沿AD翻折成 $△ A' B D$ ，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为.

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8、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的正整数 $n$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $|a_{n + 1}| = |a_{n} + k|$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 阶归化数列”.设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“2阶归化数列”，且满足 $a_{1} = 2$ ，证明： $S_{n} \leq n^{2} + n$ ，且等号在 $a_{n} = 2 n (n \geq 1)$ 时取到.

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“16阶归化数列”，且满足 $a_{1} = 8, S_{2024} = - 16192$ ，求 $a_{2024}$ 的所有可能取值.

(3)、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 阶归化数列”，且满足 $a_{1} = \sqrt{2 k}$ .证明：对于任意的 $n > 1$ ，均有 $a_{n} > \sqrt{2 n k}$ .

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9、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，且过点 $(2, - 3), F$ 为其右焦点．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程．

(2)、直线 $l$ 经过点 $A (5, 0)$ ，倾斜角为 $45^{\circ}$ ，与 $E$ 交于 $C, D$ 两点（ $C$ 点在 $A, D$ 两点之间），若 $\vec{A C} = λ \vec{A D}, λ \in R$ ，求 $λ$ 的值．

(3)、已知点 $T (- 1, 0)$ ，过点 $F$ 作直线 $m$ 与 $E$ 交于 $M, N$ 两点，记直线 $T M, T N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，试问： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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10、已知函数 $f (x) = ln x - x + a$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，证明：当 $x \geq 1$ 时， $f (x) + x \leq (x - 1) e^{x - a} + 1$ ．

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11、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A B$ $∥$ $C D, A B = A D = P D = 2, C D = 4, E$ 为 $P C$ 边上一点，且 $E C = 2 P E$ ．

(1)、证明： $P A$ $∥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值．

(3)、求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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12、近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中 $x$ 为年份代号， $y$ （单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
新增新能源汽车 $y /$ 万辆
1.2
1.8
2.5
3.2
3.8

(1)、计算样本相关系数 $r$ ，判断是否可以用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，当 $|r| \in [0.75, 1]$ 时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；
参考数据： $\sqrt{43.6} \approx 6.603$ .参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x, r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} = 3 b c sin A$ ，则 $\frac{{(b + c)}^{2}}{b c}$ 的取值范围为.

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14、已知集合 $A = \{1, 3, 5, 7\}$ ，集合 $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ，若集合 $M$ 满足 $A$ ⫋ $M \subseteq B$ ，则这样的集合 $M$ 共有个.

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15、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，若 $\forall x \in R, y \in R$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x y) - f (x) f (y)$ ，且 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) + f (- 1) = 0$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1, 0)$ 中心对称

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别是 $A, B, M$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点（不与 $A, B$ 重合），则（）

A、 $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的周长与点 $M$ 的位置无关 C、 $|M F_{1}|$ 的取值范围为 $(1, 2)$ D、直线 $M A$ 与直线 $M B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$

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17、 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中（）

A、前三项系数之和为112 B、二项式系数最大的项是第3项 C、常数项为240 D、所有项的系数之和为1

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18、已知圆台的上､下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为 $35 π$ ，则以该圆台外接球的球心为顶点，上､下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（）

A、 $\frac{125}{148}$ B、 $\frac{127}{148}$ C、 $\frac{127}{125}$ D、 $\frac{148}{125}$

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19、已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ 与 $y$ 轴相切于 $A$ 点，过 $A$ 点的直线 $l$ 交圆 $M$ 于另一点 $B$ ，点 $F (0, 3), O$ 为坐标原点，若 $\frac{|A O|}{|A F|} = \frac{|B O|}{|B F|}$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x - 2 y + 4 = 0$ B、 $2 x - y + 2 = 0$ C、 $x - y + 2 = 0$ D、 $3 x - 2 y + 4 = 0$

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20、若函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 在区间 $(1, 2)$ 上有极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, e)$ B、 $(0, e^{2})$ C、 $(e, e^{2})$ D、 $(e^{2}, + \infty)$

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
年份代号 $x$	1	2	3	4	5
新增新能源汽车 $y /$ 万辆	1.2	1.8	2.5	3.2	3.8