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相关试卷

1、如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为.（用数字作答）

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ，其中 $a \in R$ ，则（）

A、若函数 $f (x)$ 有且仅有1个零点，则 $a \in (0, \frac{e^{2}}{4})$ B、若函数 $f (x)$ 有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 $(\frac{e}{2}, + \infty)$ C、不存在 $a \in R$ ，使函数 $f (x)$ 存在唯一的极值点 D、若对 $\forall x > 0, f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a \leq \frac{e^{2}}{4}$

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3、若实数a、b、c、d满足 $\frac{e^{a}}{b} = \frac{c - 2}{d - 1} = 1$ ，则 ${(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、8

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4、下列求导运算正确的是（）

A、 $(\cos x)^{'} = \sin x$ B、 $(3^{x})^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ C、 $(\lg x)^{'} = \frac{1}{x \ln 10}$ D、 $(x^{2} \cos x)^{'} = 2 x \sin x$

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5、设函数 $f (x) = x (a + e^{x}) (a \in R), g (x) = 1 + ln x$ ．

(1)、试求函数 $y = f^{'} (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $y = f (x) + a g (x) (a \in R)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在单调减区间，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) \geq g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、在 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若第 $k$ 项是有理项，求 $k$ 的取值集合；

(3)、求系数最大的项.

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7、有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为 $A$ ， $B$ ， $C$ 的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内.

(1)、共有多少种不同的放法？

(2)、若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？

(3)、若标号为1，2的两个小球必须放 $A$ 号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（注意：请写出式子再写计算结果）

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8、已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + ln x - 1, a \in R$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, f (1))$ 处的切线平行于直线 $y = - x + 1$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调区间．

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9、用＂市＂、＂二＂、＂中＂、＂学＂、＂顶＂、＂呱＂、＂呱＂这七个字可以组成多少种不同的七字短语.（不考虑短语的含义）

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10、 $(1 + x^{4}) {(1 + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式的常数项为．

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11、下面四个结论中正确的有（）

A、 ${(2 \sqrt{x} + 3)}^{4}$ 展开式中各项的二项式系数之和为 $16$ B、用 $4$ 个 $0$ 和 $3$ 个 $1$ 可以组成 $35$ 个不同的七位数 C、 ${(x^{0.2} + \frac{1}{x^{0.25}})}^{9}$ 的展开式中不存在有理项 D、方程 $x + y + z = 10$ 有 $36$ 组正整数解

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12、函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，以下命题正确的是（）

A、 $- 3$ 是函数 $y = f (x)$ 的极值点 B、 $- 2$ 是函数 $y = f (x)$ 的极值点 C、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 3, 1)$ 上单调递增 D、 $- 1$ 是函数 $y = f (x)$ 的极值点

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13、已知 $a = ln \frac{3}{2}, b = \frac{1}{3}, c = e^{- 2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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14、某学校从周一至周五中选择 $2$ 天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（）

A、 $7$ 种 B、 $8$ 种 C、 $9$ 种 D、 $10$ 种

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15、已知 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，若 $f (x) = \frac{1}{2} e^{x} - f^{'} (2) x + 1$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $\frac{e^{2} + 1}{2}$ B、 $\frac{e^{2}}{4}$ C、 $\frac{e^{2} + 2}{4}$ D、 $\frac{e^{2}}{2}$

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16、已知三棱锥P－ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：

(1)、证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)、若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成角最大时，求二面角M－BC－A的余弦值．

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17、已知函数 $f (x) = 3 {(\frac{x}{e^{x}})}^{2} + \frac{(a^{2} - 1) x}{e^{x}} + 1 - a^{2}$ 有三个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ），则 ${(1 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{2} (1 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}}) (1 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}}) =$ ．

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18、现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为．

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19、已知平面向量与 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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20、圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点 $F_{2}$ 处发出的光线，经过双曲线在点 $P$ 处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点 $F_{1}$ ，且双曲线在点 $P$ 处的切线平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ ．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 $C$ 过点 $(3, - 1)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．若从 $F_{2}$ 发出的光线经双曲线右支上一点 $P$ 反射的光线为 $P Q$ ，点 $P$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $T$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{3} - 2 y^{2} = 1$ B、过点 $P$ 且垂直于 $P T$ 的直线平分 $∠ F_{2} P Q$ C、若 $P F_{2} ⊥ P Q$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 16$ D、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $|P T| = \frac{4 \sqrt{30}}{5}$

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