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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = \frac{2 (n + 1)}{n} a_{n}$ ，对于 $\forall n \in N^{*} ， S_{n} \leq (A n + B) \times 2^{n} + 2$ 恒成立，则 $A + B$ 的最小值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、4

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2、已知直线 $l : y = k (x + 3) + 1$ 与曲线 $C : y = \frac{1}{2} \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个公共点，则k的取值范围是（）

A、 $(- \frac{6}{5}, 0)$ B、 $[- \frac{1}{5}, 0)$ C、 $(- \frac{6}{5}, \frac{1}{3})$ D、 $(- \frac{6}{5}, - \frac{1}{5}]$

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3、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n$ ，去掉数列中所有的 $a_{3 k} （ k \in N^{*} ）$ ，得到新数列 ${b_{n}}$ ，则 $b_{6} =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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4、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则“ $a_{9} > a_{7}$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (2, 3, 4)$ 在坐标平面 $O x y$ 内的射影的坐标为（）

A、 $(0, 0, 4)$ B、 $(0, 3, 4)$ C、 $(2, 0, 4)$ D、 $(2, 3, 0)$

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6、为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：

(1)、求甲和乙的测试成绩的平均数和方差；

(2)、从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）；
②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）.

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7、意大利著名画家达 $\cdot$ 芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”.1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为 $y = \frac{c}{2} (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})$ ，其中c为参数.当 $c = 1$ 时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，双曲正弦函数为 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性．

(1)、求证： $\cosh 2 x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x$ ；

(2)、求函数 $y = \cosh 2 x - 2 \cosh x$ 的最小值；

(3)、求证：对 $\forall x \in [- π, \frac{π}{4}]$ ， $c o s h (c o s x) > s i n h (s i n x)$ ．

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8、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为2，部分图象如图所示．

(1)、求A， $ω$ ， $φ$ ；

(2)、在实数范围内，求使不等式 $f (x) - \sqrt{3} \geq 0$ 成立的x的集合；

(3)、若 $f (m) = 0$ ，且满足 $|m| + f (m + \frac{1}{2}) < 36$ ，求满足要求的m的个数．

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9、经过市场调查分析，某地区一年的前 $n$ 个月内，对某种商品的需求累计 $f (n)$ 万件，近似地满足下列关系： $f (n) = \frac{1}{70} n (n + 1) (19 - n), n = 1, 2, 3, \dots, 12$ ．

(1)、求这一年内，哪几个月需求量超过1.7万件?

(2)、若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初至少投放多少万件?（精确到 $0.01$ 万）

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10、已函数 $f (x)$ 为定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间，并说明理由．

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11、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x + a) + \log_{2} (b - x)$ 的图象经过点 $(- 1, 1), (0, 1)$ ，其中 $a > 0, b > 0$ ．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的定义域和值域．

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 3 a x + 1, x \leq 1 \\ 2 a + a \ln x, x > 1 \end{array}$ 对任意实数 $x_{1}, x_{2}, x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数a的取值范围是．

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13、在平面直角坐标系中，已知 $⊙ O$ 是以原点O为圆心，半径长为3的圆，角 $x (rad)$ 的终边与 $⊙ O$ 的交点为P，则点P的纵坐标y关于x的函数解析式 $y =$ ．

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14、设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如， $[- 3.5] = - 4, [2.1] = 2$ ．已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，下列选项正确的有（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、 $f (x) = f (x + 1)$ C、当 $x \in (0,1)$ 时， $f (x) + f (- x) = 1$ D、方程 $f (x) - |lg x| = 0$ 在实数范围内有9个不同的实数根

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15、已知函数 $f (x) = \cos (3 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5π}{24}, \frac{π}{24})$ 单调递增 B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, π)$ 内有4个零点 C、点 $(- \frac{π}{4}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{5π}{8}]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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16、已知集合 $A = \{(x, y) | 3 x - y = 0\}$ ， $B = \{(x, y) | x - y = 0\}$ ， $C = \{(x, y) | 3 x - y = 4\}$ ， $D = \{(x, y)| \{\begin{array}{l} 2 x - y = 1 \\ x + 2 y = 3 \end{array}\}$ ，下列选项正确的有（）

A、 $A \cap B = \{0\}$ B、 $A \cap C = \emptyset$ C、 $B \cap C = (2, 2)$ D、 $D \subseteq B$

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17、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, + \infty)$ 上的奇函数，且满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ．若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) =$ （）

A、0 B、2 C、2024 D、2025

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18、某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为 $P = P_{0} \cdot e^{- k t}$ （其中 $P_{0}$ ， k是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（）
（本题参考数据： $\ln 0.5 \approx - 0.693, \ln 0.9 \approx - 0.105$ ）

A、 $6h$ B、 $10h$ C、 $11h$ D、 $33h$

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19、在下列区间中，方程 $e^{x} + 3 x - 2 = 0$ 的解所在的区间为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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20、已知 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} = 3$ ，则 $\sin α \cos α =$ （）

A、 $\frac{4}{17}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\pm \frac{4}{17}$ D、 $\pm \frac{2}{5}$

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