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相关试卷

1、已知点 $A (3, 0)$ ， $B (0, 4)$ ，点 $P$ 在圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 上运动，则（）

A、直线 $A B$ 与圆 $C$ 相离 B、 $△ P A B$ 的面积的最小值为 $2$ C、圆 $C$ 上存在点 $P$ 使得 $∠ A P B = 90 °$ D、当 $∠ P B A$ 最小时， $|P B| = \sqrt{5}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 6, a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数时 \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 \end{matrix} ，$ 则使得 $S_{n} \geq 2025$ 的最小整数 $n$ 的值为（）

A、851 B、852 C、853 D、854

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - 2 t n + 5, (n \in N^{*})$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是单调递增数列，则实数t的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{2})$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, \frac{3}{2})$

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4、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且点 $P (1, 1)$ 是线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- \frac{4}{9}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $- \frac{9}{4}$

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5、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 2$ ， $a_{5} a_{7} = 100$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\pm 2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\pm \sqrt{5}$

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6、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则 $\vec{B M}$ 等于（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$

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7、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = x \cdot 2^{x - 1}$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{2}{\sqrt{x}}$ D、 ${(x ln x)}^{'} = 1 + ln x$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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9、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为6，点 $M, N$ 分别是 $B C, A D$ 的中点，则下列几何体能够整体放入正四面体 $A - B C D$ 的有（）

A、底面在平面 $B C D$ 上，且底面半径为 $\sqrt{2}$ ，高为 $2 \sqrt{6}$ 的圆锥 B、底面在平面 $B C D$ 上，且底面半径为 $\sqrt{2}$ ，高为1的圆柱 C、轴为直线 $M N$ ，且底面半径为 $\sqrt{2}$ ，高为2的圆锥 D、轴为直线 $M N$ ，且底面半径为 $\sqrt{2}$ ，高为0.2的圆柱

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10、已知函数 $f (x) = x (x - 1) (e^{x} - a)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = e$ ，则 $f (x)$ 有2个零点 B、若 $a \leq 0$ ，则 $f (x) < 0$ 的解集为 $(0, 1)$ C、 $\forall a > 0, f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有极小值 D、 $\exists 0 < a < 1, f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有极大值

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11、已知曲线 $C : x y = 2$ ，过 $C$ 上点 $M (1, 2)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 与 $C$ 的另一交点为 $A$ ， $l_{2}$ 与 $C$ 的另一交点为 $B$ ．

(1)、写出曲线 $C$ 的对称轴（不需证明）

(2)、证明：曲线 $C$ 是双曲线；

(3)、若 $M$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\sqrt{5}$ ，求直线 $A B$ 的方程．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 1, n 为奇数 \\ a_{n} + 2, n 为偶数 \end{array}$

(1)、证明 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是等差数列；

(2)、求 $S_{2 n}$ ；

(3)、求证： $\frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{4}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1}{S_{2 n - 2}} + \frac{1}{S_{2 n}} < \frac{2}{3}$

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13、如图，在五面体 $A B C D E$ 中， $△ A B C$ 为边长为2的等边三角形， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D // A E$ ， $C D = \frac{1}{2} A E$ .

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、若直线 $E D$ 与平面 $A B E$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

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14、2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员．

(1)、设“女生甲被选中”为事件 $A$ ， “男生乙被选中”为事件 $B$ ，求 $P (B |A)$ ；

(2)、设所选3人中男生人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，下顶点为 $A$ ，直线 $A F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $B$ ， $△ A B F_{1}$ 的内切圆与 $B F_{1}$ 相切于点 $P$ ，若 $\frac{|P F_{1}|}{|P B|} = \frac{1}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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16、已知 $sin (α + β) = 2 cos (α - β)$ ， $tan α + tan β = \frac{4}{3}$ ，则 $tan α \cdot tan β =$ ．

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17、 $(x + 1) {(1 - 2 x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为．

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18、如图，在边长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点， $P$ 是底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、存在 $P$ 满足 $A P + P C_{1} = 2 \sqrt{10}$ B、若 $D P / /$ 平面 $C E F$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、若 $A P = 3 \sqrt{2}$ ，则点 $P$ 到平面 $C E F$ 距离最小值为 $\frac{8}{3}$ D、若 $P$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则三棱锥 $P - C E F$ 的外接球的表面积是 $41 π$

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，设 $O$ 为坐标原点，则（）

A、 $p = 2$ B、 $y_{1} y_{2} = - 1$ C、 $|A F| \cdot |B F| \geq 4$ D、若 $B$ 在抛物线准线上的射影为 $B^{'}$ ，则 $A, O, B^{'}$ 三点共线

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20、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中 $M (1, 0)$ ， $N (5, 0)$ ，则（）

A、 $ω = \frac{π}{4}$ B、 $φ = - \frac{π}{4}$ C、函数 $y = f (x) - \frac{1}{3} x$ 有5个零点 D、 $f (x)$ 在 $[6, 8]$ 上单调递增

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