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相关试卷

1、2024年东京奥运会，中国获得了男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78
207.46
207.95
209.34
209.35
210.68
213.73
214.84
216.93
216.93

(1)、求这组数据的极差与中位数；

(2)、从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)、若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 $y = - 0.311 x + \hat{b}$ ，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．

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2、已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 10 n - 9$ ， $b_{n} = 2^{n}$ 、， $c_{n} = λ a_{n} + (1 - λ) b_{n}$ .若对任意的 $λ \in [0, 1]$ ， $a_{n}$ 、 $b_{n}$ 、 $c_{n}$ 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数 $n$ 有（）

A、4个 B、3个 C、1个 D、无数个

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3、已知 $A (0, 1), B (1, 2)$ ， C在 $Γ : x^{2} - y^{2} = 1 (x \geq 1, y \geq 0)$ 上，则 $△ A B C$ 的面积（）

A、有最大值，但没有最小值 B、没有最大值，但有最小值 C、既有最大值，也有最小值 D、既没有最大值，也没有最小值

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4、设 $a > 0, s \in R$ ．下列各项中，能推出 $a^{s} > a$ 的一项是（）

A、 $a > 1$ ，且 $s > 0$ B、 $a > 1$ ，且 $s < 0$ C、 $0 < a < 1$ ，且 $s > 0$ D、 $0 < a < 1$ ，且 $s < 0$

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5、已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为 $P (A) = \frac{1}{2}$ ，事件B发生的概率为 $P (B) = \frac{1}{2}$ ，则事件 $A \cap B$ 发生的概率 $P (A \cap B)$ 为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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6、已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ - 1, & x < 0 \end{array}$ ， $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 是平面内三个不同的单位向量．若 $f (\vec{a} \cdot \vec{b}) + f (\vec{b} \cdot \vec{c}) + f (\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |$ 可的取值范围是．

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7、小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B ，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 $θ =$ ．（结果用角度制表示，精确到 $0 ． 01 °$ ）

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8、已知复数z满足 $z^{2} = (\bar{z})^{2}, | z | \leq 1$ ，则 $| z - 2 - 3 i |$ 的最小值是．

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9、4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种．

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10、设 $a, b > 0, a + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $b + \frac{1}{a}$ 的最小值为．

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11、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B D = 4 \sqrt{2}, D B_{1} = 9$ ，则该正四棱柱的体积为．

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12、已知随机变量X的分布为 $(\begin{array}{l} 5 & 6 & 7 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{array})$ ，则期望 $E [X] =$ ．

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13、函数 $y = c o s x$ 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 上的值域为．

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14、在二项式 $(2 x - 1)^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．

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15、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = - 3$ ，公差 $d = 2$ ，则该数列的前6项和为．

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16、不等式 $\frac{x - 1}{x - 3} < 0$ 的解集为．

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17、已知全集 $U = {x ∣ 2 \leq x \leq 5, x \in R}$ ，集合 $A = {x ∣ 2 \leq x < 4, x \in R}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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18、已知函数 $f (x) = e^{a x} sin x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $x \leq \frac{π}{2}$ 时， $f (x) \geq x$ 恒成立，求正实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 1$ 时，若正实数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} (n \geq 3)$ 满足 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = \frac{π}{2}$ ，求证： $\frac{π}{2} < \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) < e^{\frac{π}{2}}$ .

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19、已知等轴双曲线 $C : y^{2} - x^{2} = a^{2}$ ，过 $E (0, - 2)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ ，与双曲线 $C$ 分别交于 $A, B$ 两点，当 $k = 0$ 时， $|A B| = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与双曲线 $C$ 的上、下两支相交，点 $D (0, 2)$ ，直线 $A D, B D$ 分别与双曲线 $C$ 的上支交于 $M, N$ 两点.
（i）求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围；
（ii）设 $△ D M N$ 和 $△ D A B$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，且 $S_{1} = \frac{9}{71} S_{2}$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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20、甲、乙两人进行 $AI$ 知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得 $- 1$ 分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ .求：

(1)、在3题均被乙抢到的条件下，设乙答题得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望值；

(2)、甲在比赛中获胜的概率.

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