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相关试卷

1、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n} a_{n + 1}^{2} - 2 (a_{n}^{2} - 1) a_{n + 1} - a_{n} = 0, n \in N^{*}$
（1）设 $b_{n} = a_{n} - \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式
（2）设 $S_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}, T_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}^{2}}$ ，求 $S_{n} + T_{n}$ ，并确定最小正整数 $n$ ，使得 $S_{n} + T_{n}$ 为整数．

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $M, N$ 两点.

(1)、若线段 $M N$ 的中点坐标为 $(\frac{5}{2}, 1)$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、当 $l$ 过点 $F$ 时，过点 $M, N$ 分别作直线 $l^{'} : x = \frac{3}{2}$ 的垂线，垂足分别为 $M^{'}, N^{'}$ ，且直线 $M N^{'}$ ， $M^{'} N$ 交于点 $P$ ，求 $△ M P N$ 面积的最小值.

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3、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = ∠ A B C = 90^{\circ}, A D = 2 A B = 2 B C = \frac{2}{3} C_{1} C = 2$ ，点 $M$ 的线段 $C_{1} D$ 上.

(1)、是否存在点 $M$ ，使得 $C_{1} D ⊥$ 平面 $A C M$ ？若存在求 $C_{1} M$ ；若不存在，请说明理由；

(2)、若平面 $C_{1} A C$ 里平面 $A C M$ 夹角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $\frac{C_{1} M}{C_{1} D}$ 的值.

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4、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 1, \frac{c}{b} + \frac{b}{c} = \frac{1 + b c}{b c}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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5、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积为6，三棱柱 $E F G - E_{1} F_{1} G_{1}$ 为正三棱柱，若 $\vec{A_{1} E} = λ \vec{A_{1}} \vec{A}$ ， $\vec{A_{1} F} = λ \vec{A_{1} B_{1}}, \vec{A_{1} G} = λ \vec{A_{1} D_{1}} (0 < λ < 1)$ ，且 $E_{1}, F_{1}, G_{1}$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上，则当三棱柱 $E F G - E_{1} F_{1} G_{1}$ 的体积取得最大值时， $λ =$ .

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6、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的表面积为 $\frac{11 π}{2}$ ，其中 $A B = 2, A A_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}, E$ 为线段 $C D$ 的中点，过点 $A$ 的平面 $α$ 与直线 $B E$ 垂直，点 $S$ 在平面 $α$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形成的交线段上，且 $S A = S E$ ，则四面体 $S A B E$ 外接球的体积为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$

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7、如图，由函数 $y = e^{x} - e + 1$ 与 $y = ln (x + e - 1)$ 的部分图象可得一条封闭曲线 $Γ$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $Γ$ 关于直线 $y = x$ 对称 B、 $Γ$ 的弦长最大值大于 $2 \sqrt{2}$ C、直线 $x + y = t$ 被 $Γ$ 截得弦长的最大值为 $\sqrt{2} (e - 2)$ D、 $Γ$ 的面积大于 $πe - 2$

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8、已知 $a = \frac{ln 0.3}{ln 0.4}, b = \frac{1}{{log}_{1.5} e}, c = sin \frac{5 π}{24}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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9、为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为 $\frac{3}{5}$ ，被标记为二等品的概率为 $\frac{2}{5}$ ，被标记为一等品的零件有 $\frac{1}{10}$ 的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有 $\frac{1}{10}$ 的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（）

A、 $\frac{13}{14}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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10、已知函数 $f (x) = M sin (ω x + φ) (M > 0, ω > 0)$ 的部分图象如图所示，其中 $A (0, - \sqrt{2}), B (\frac{π}{3}, \sqrt{2})$ ，若将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后关于 $y$ 轴对称，则 $M =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、4 D、2

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11、知 $a, b \in R$ ，若 $(a + b i) (2 - 5 i) = 3 - i^{2025}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{11}{29}$ B、 $\frac{1}{29}$ C、 $\frac{13}{29}$ D、 $- \frac{13}{29}$

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12、已知全集 $U = R$ 集合 $A = \{x |- \frac{3}{2} < x < 3\}$ . $B = \{x ∣ y = ln (3 x - 5)\}$ .则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{x | x > \frac{3}{2}\}$ B、 ${x ∣ x < 3}$ C、 ${x | x \leq \frac{5}{3}$ 或 $x > 3}$ D、 $\{x |x < \frac{3}{2}$ 或 $x \geq \frac{5}{3}\}$

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13、若数列 $\{a_{n}\} (1 \leq n \leq m + k, n \in N^{*}, m, k \in N^{*})$ 满足 $a_{n} \in \{- 1, 1\}$ .定义广义规范数列如下： $\{a_{n}\}$ 中共有 $m + k$ 项 $(m \geq k)$ ，其中 $m$ 项为 $- 1, k$ 项为1，且对任意 $i \leq m + k$ 项， $a_{1}, a_{2}, \dots a_{i}$ 中的－1的个数不少于1的个数．当 $m = k$ 时，满足上述定义的数列称为规范数列．记 $f (m, k)$ 表示“广义规范数列”的个数.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $f (m, 2), \forall m > 2$ ；进一步证明：当 $m > k$ 时， $f (m, k) = f (m - 1, k) + f (m, k - 1)$ ；

(3)、当 $k = 5$ 且 $m \geq 9$ 时，记 $P_{m + 5}$ 表示 $m + 5$ 项数列中符合广义规范数列的概率，求证： $P_{m + 5} \leq \frac{7}{64}$ ．
（提示： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）

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14、已知函数 $f (x) = ln (e^{2 x} + 1) - a x - |x|$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明：曲线 $f (x)$ 是轴对称图形；

(3)、若 $f (x) \leq ln 2$ 在R上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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15、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $A B = A C = C D = 2, B C = A D, A C ⊥ B D$ ．

(1)、若 $B D = 2$ ，求证： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、若 $B D = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，求直线 $A B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值．

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ ，斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M, N$ 两点，且 $M (1, - 2)$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、试探究：抛物线 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $P M ⊥ P N$ ？若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由.

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17、在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，其中 $a = 7, b = 8, c o s B = - \frac{1}{7}$
（1）求 $∠ A$ ；
（2）求 $A C$ 边上的高，

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18、学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为．

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19、已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线与双曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，则 $△ M N F_{1}$ 的周长为．

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20、已知 $f (x) = \frac{1}{2} sin 2 x$ ，下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 C、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}]$ D、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到

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