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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 2), \vec{b} = (1, - 3, - 2), \vec{c} = (x, 2, - 1), x \in R$ .

(1)、若 $x = 4$ ，求 $\vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}$ ；

(2)、若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (x \vec{c}) > - 1$ ，求 $x$ 的取值范围.

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2、在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A = A B = 2, M$ 为棱 $A B$ 上一点，且 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{M B}$ ，则异面直线 $S M$ 和 $A C$ 所成角的余弦值为.

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3、点 $P$ 为直线上 $3 x + 4 y - 22 = 0$ 的动点，过点 $P$ 作圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 7$ 的切线，切点为 $Q$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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4、过点 $A (0, 2)$ 且斜率为3的直线方程为.

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5、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为椭圆上的点（不在 $x$ 轴上）， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线交 $x$ 轴于点 $M, △ P F_{1} F_{2}$ 的面积最大值为4，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 2 \sqrt{2}$ B、 $|P M| \geq 2$ C、 $|P F_{1}| \cdot |M F_{2}| = |P F_{2}| \cdot |M F_{1}|$ D、 $|O M| \leq \sqrt{2}$

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6、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，直线 $l : x_{0} x + y_{0} y = 9$ ，则下列说法正确的是（）

A、若点 $P$ 的坐标为 $(3, 3)$ ，则直线 $l$ 被圆截得的弦长等于 $3 \sqrt{2}$ B、若直线 $l$ 被圆截得的弦长等于 $3 \sqrt{2}$ ，则 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ 为定值 C、若直线 $l$ 与圆相交，则点 $P$ 在圆内 D、若点 $P$ 在圆上，直线 $l$ 与圆相切

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7、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{B C} \cdot \vec{A C_{1}} = 0$ B、 $\vec{B C} / / \vec{A_{1} D_{1}}$ C、 $\vec{B C} \cdot \vec{B_{1} D_{1}} > 0$ D、 $\vec{B C} \cdot \vec{D B_{1}} < 0$

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8、已知斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，若 $△ O A B$ 的重心在直线 $y = x$ 上，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9、已知直线 $l_{1} : a x + (a + 2) y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : b x - (b - 1) y + 2 = 0$ 互相垂直，则 $a b$ 的最小值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 至少有3条公切线，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $\sqrt{5} - 1 < r < \sqrt{5} + 1$ B、 $\sqrt{5} - 1 \leq r \leq \sqrt{5} + 1$ C、 $0 < r \leq \sqrt{5} - 1$ D、 $0 < r < \sqrt{5} - 1$

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11、已知四面体 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $A C, B D$ 的中点，则（）

A、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{E F} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ D、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

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12、椭圆 $3 x^{2} + 4 y^{2} = 36$ 的焦距等于（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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13、圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 的圆心坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(2, 1)$

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14、直线 $y = \sqrt{3} x$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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15、已知空间直角坐标系中两点 $M (0, 2, 3), N (- 2, 1, 6)$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $(2, 1, - 3)$ B、 $(- 2, - 1, 3)$ C、 $(- 2, 3, 9)$ D、 $(- 2, - 3, - 9)$

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16、 $A_{2025}^{10} =$ （）

A、 $2025 \times 2024 \times 2023 \times \dots \times 2015$ B、 $2025 \times 2024 \times 2023 \times \dots \times 2016$ C、 $\frac{2025!}{10!}$ D、 $\frac{2025!}{2015! \times 10!}$

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} + \ln (x + 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = e^{x} - \cos x$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $g (x) > 0$ ；

(3)、若 ${(e}^{x} + a \cos x) f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的值．

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上，下顶点分别为 $A, B$ ，且短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设直线 $y = - 2$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，点 $M$ 为椭圆 $E$ 上不同于顶点的一点，且直线 $B M$ 与直线 $y = - 2$ 交于点 $P$ ， AM与直线 $y = - 2$ 交于点 $N$ ，判断是否存在点 $M$ ，使得 $∠ P A N = ∠ Q M N$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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19、某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）

车型	低收入群体（收入<20万元/年）		中收入群体（收入20万元-50万元/年）		高收入群体（收入>50万元/年）
	愿意	不愿意	愿意	不愿意	愿意	不愿意
EV	50	20	40	40	30	20
PHEV	25	45	40	40	35	15

假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率.

(1)、在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p；

(2)、从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)、若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为

p_{A}

，试比较p和

p_{A}

的大小.

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20、在 $△ A B C$ 中， $b \sin A = a \sin (\frac{π}{3} - B)$ .

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{3}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $△ A B C$ 的周长为 $8+4 \sqrt{3}$ ；
条件②： $\cos A = \frac{4}{5}$ ；
条件③： $b = 6$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 $0$ 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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