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相关试卷

1、已知 $a, b \in R$ ，则“ $a + b > 0$ ”是“ $a b > 0$ ”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、“ $0 < a < b$ ”是“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知集合 $A = \{x ||x - 1| < 2\}$ ， $B = Z$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${1, 2}$

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4、已知抛物线 $E : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A F| + |B F| = 6$ ，则线段 $A B$ 中点的纵坐标为.

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5、在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足 $a + c = λ b$ （ $λ \in R$ ，且 $λ > 1$ ）

(1)、若 $λ = 2$ ，且 $3 c \sin A = 4 b \sin C$ ，求 $\cos B$ 的值；

(2)、求证： $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{λ - 1}{λ + 1}$ ；

(3)、是否存在函数 $f (λ)$ ，使得对于一切满足条件的 $λ$ ，代数式 $\frac{\cos A + \cos C + f (λ)}{f (λ) \cos A \cos C}$ 恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的 $f (λ)$ ，并证明，若不存在，请给出一个理由.

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6、在 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 \sin^{2} C - 2 \sin^{2} B = 3 \sin B \sin C$ .

(1)、求证： $c = 2 b$ ；

(2)、若D为BC的中点， $∠ C A D = \frac{π}{3}$ ， $b = 2$ ，求AD的长.

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7、已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m^{2} - 1) i$ （ $m \in R$ ）

(1)、若 $z > 0$ ，求实数m的值；

(2)、若z为虚数，求实数m的取值范围；

(3)、若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.

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8、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{4} c^{2}$ ，若 $A > B$ 且 $\sqrt{2} c \cos B = \sqrt{2} a - b$ ，则 $\frac{\sin A}{\sin B} =$ .

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9、在 $△ A B C$ 中，已知 $B = 30^{\circ}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则 $C$ ＝．

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10、在 $△ A B C$ 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（）

A、若 $a^{2} - b^{2} = {(a \cos B + b \cos A)}^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 B、若 $a^{2} \tan B = b^{2} \tan A$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$

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11、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是三个非零向量，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ D、 $(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$ 不与 $\vec{c}$ 垂直

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12、已知复数 $z = \frac{(3 i - 1) (1 - i)}{i^{2025}}$ （ $i$ 为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、z的虚部为 $- 2$ B、复数z在复平面内对应的点位于第三象限 C、z的共轭复数 $\bar{z} = 4 - 2 i$ D、 $|z| = 2 \sqrt{5}$

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13、一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东 $α$ ，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东 $β$ ，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则 $α$ ， $β$ 满足的条件为（）
① $m \cos α \cos β > n \sin (α - β)$ ② $m \cos α \cos β < n \sin (α - β)$ ③ $\frac{m}{n} < \tan α - \tan β$
④ $\frac{m}{n} > \tan α - \tan β$

A、①③ B、②③ C、①④ D、②④

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14、已知向量 $\vec{a} = (7 \sin θ - 1, 5)$ ， $\vec{b} = (1, - \cos^{2} θ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\cos 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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15、已知非零向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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16、在 $△ O A B$ 中，C是AB上一点，且 $\vec{O C} = \frac{2}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B}$ ，若 $\vec{C B} = λ \vec{A C}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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17、在 $△ A B C$ 中，若 $a \cos B + b \cos A = a$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰或直角三角形 D、等边三角形

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18、设复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = x + 2 i$ （ $x \in R$ ）.若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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19、设 $m \in R$ ，若向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (6, m)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则m的值为（）

A、 $- 9$ B、 $- 4$ C、4 D、9

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20、若 $a, b, c \in R$ ，则下列命题中错误的是（）

A、若 $a > b > c$ 且 $a c < 0$ ，则 $a b^{2} > c b^{2}$ B、若 $a > b > 0$ 且 $c > 0$ ，则 $\frac{a + c}{b + c} > \frac{a}{b}$ C、若 $a > b > 0$ 且 $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{b} < b + \frac{1}{a}$

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