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相关试卷

1、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x + y) f (x - y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $y = f (x)$ 为奇函数 C、 $y = f (x)$ 不存在零点 D、 $f (2 x) = f (x)$

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2、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $P (A) = P (B)$ D、 $A$ 与 $B$ 相等

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3、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 16$ ，直线 $l : m x + y - 3 m - 1 = 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(2, 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 C、直线 $l$ 与圆 $C$ 相交 D、直线 $l$ 与圆 $C$ 相离

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4、在 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + {(1 + x)}^{5} + {(1 + x)}^{6} + {(1 + x)}^{7}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数是（）

A、57 B、56 C、36 D、35

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 是单位向量，且 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ （）

A、3 B、5 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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6、已知 $α, β$ 表示两个不同的平面， $m$ 表示一条直线，且 $m$ $∥$ $α$ ，则“ $m ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知集合 $A = \{x ∣ 4 \leq 2^{x} < 16\}, B = \{x ∣ 3 x - 7 \geq 8 - 2 x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 3 \leq x < 4}$ B、 $\{x ∣ x \geq 2\}$ C、 $\{x ∣ 3 \leq x \leq 4\}$ D、 ${x ∣ x > 2}$

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8、设 $z_{1} = 2 + i, z_{2} = 1 - 3 i$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、已知函数 $f (x) = 2 \ln (a x + b)$ ，其中a， $b \in R$ ．
（I）若直线 $y = x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线，求ab的最大值；
（Ⅱ）设 $b = 1$ ，若关于x的方程 $f (x) = a^{2} x^{2} + (a^{2} + 2 a) x + a + 1$ 有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（参考数据： $\ln \frac{5}{4} \approx 0.223$ ）

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $D C / / A B$ ， $B C = C D = D P = P A = \frac{1}{2} A B$ ，点E在 $P C$ 上，且 $\overset{⃑}{P E} = 2 \overset{⃑}{E C}$ ．

(1)、证明： $A P / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $D - P C - B$ 的正弦值．

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11、定义在 $[- 2, 2]$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足：对任意的 $m, n \in [- 2, 2]$ ，都有 $f (m + n) = f (m) + f (n)$ 成立，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ．

(1)、求证： $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上是单调递增函数 $;$

(2)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) < f (2 x + 1);$

(3)、已知 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，若 $f (x) \leq t^{2} - 2 a t - 2$ 对所有的 $x \in [- 2, 2]$ 及 $a \in [- 2, 2]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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12、设 $y = m x^{2} + (1 - m) x + m - 2$ ．

(1)、若不等式 $y \geq - 2$ 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $m x^{2} + (1 - m) x + m - 2 < m - 1 (m \in R)$ ．

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13、已知集合 $A = \{x| - 1 < x < 2\}$ ， $B = \{x| m + 1 \leq x \leq 2 m + 3\}$ .

(1)、若 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数m的取值范围.

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14、若不等式 $(a x + 3) (x^{2} - b) \leq 0$ 对任意的 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则 $a (b + 4)$ 的最大值为.

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15、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y + 21 = 0$ ，点A是圆C上任一点，抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的准线为l，设抛物线上任意一点Р到直线l的距离为m，则 $m + |P A|$ 的最小值为

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16、 $y = x - \sqrt{2 x - 1}$ 的值域为．

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17、当 $1 < x_{1} < x_{2}$ 时，不等式 $\frac{x_{2} e^{x_{1}} - x_{1} e^{x_{2}}}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立．若 $b > e^{a} > e$ ，则（）

A、 $e^{b} > b e^{e - 1}$ B、 $e^{a} \ln b < a b$ C、 $a e^{b} < b \ln a$ D、 $e^{a + b} > b e^{e^{a}}$

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18、若关于 $x$ 的不等式 $x e^{x} - 2 a x + a < 0$ 的非空解集中无整数解，则实数 $a$ 的取值范围是

A、 $[\frac{2}{5 e^{2}}, \frac{1}{3 e})$ B、 $[\frac{1}{3 e}, \frac{\sqrt{e}}{4 e})$ C、 $[\frac{1}{3 e}, e]$ D、 $[\frac{\sqrt{e}}{4 e}, e]$

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19、已知椭圆和双曲线有共同焦点 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 是它们的一个交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1} e_{2}}$ 的最大值为

A、3 B、2 C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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20、设函数 $f (x) = \min {x^{2} - 1, x + 1, - x + 1}$ ，其中 $\min \{x, y, z\}$ 表示 $x, y, z$ 中的最小者，若 $f (a + 2) > f (a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为

A、 $(- 1, 0)$ B、 $[- 2, 0]$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (- 1, 0)$ D、 $[- 2, + \infty)$

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