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相关试卷

1、为了解甲､乙两所学校高二年级学生在 $2023 ~ 2024$ 学年度第二学期期末考试中的物理成绩情况，采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩，并作出了频数分布统计表如下：

分组
$[0, 20)$
$[20, 40)$
$[40, 60)$
$[60, 80)$
$[80, 100]$
甲校
频数
3
4
18
15
10
乙校
频数
2
6
12
18
12

(1)、分别估计甲校物理成绩的 $75 %$ 分位数（精确到0.1）和乙校物理成绩的平均分（同一组中的数据用该区间的中点值代表）：

(2)、根据以上统计数据完成 $2 \times 2$ 列联表（成绩不低于60分的视为及格），并依据 $α = 0.10$ 的独立性检验，判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异.

甲校
乙校
合计
及格

不及格

合计

参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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2、定义函数 $f_{[a, b]} (x) = \{\begin{array}{l} a, x < a, \\ x, a ⩽ x ⩽ b \\ b, x > b, \end{array}$ ，已知函数 $g (x) = {(f_{[- 1, 2]} (x))}^{2} - f_{[3, 4]} (x)$ ，则 $g (x)$ 的值域为
；若函数 $h (x) = g (x) - k x + 1 - 2 k$ 恰有3个零点，则实数 $k$ 的取值范围为.

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3、已知随机变量 $X \sim N (4, 12), P (X > a) = P (X < b), n = a + b$ ，则 ${(x + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为.

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4、已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $8 sin α = 3 {cos}^{2} α$ ，则 $\tan α =$ .

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5、如图，在棱长均为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 是棱 $B C$ 的中点， $\vec{C N} = λ {\vec{C C}}_{1} (0 < λ \leq 1)$ ，过点 $B_{1}$ 作平面 $α$ 与直线 $A N$ 垂直，过点 $B$ 作平面 $β$ 与平面 $A M N$ 平行，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $α$ 截正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ B、当 $λ = 1$ 时， $α$ 截正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、若 $β$ 截正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面为三角形，则 $λ$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2}]$ D、若 $λ \in (\frac{1}{2}, 1)$ ，则 $β$ 截正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面为四边形

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6、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点， $Q (3, 1)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 在第一象限交于点A，则（）

A、 $Q$ 到直线 $l$ 距离的最大值为 $\sqrt{5}$ B、若 $O, Q$ 到直线 $l$ 的距离相等，则 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ C、 $|A Q| + |A F|$ 的最小值是 $2 + \sqrt{5}$ D、当 $A$ 在直线 $O Q$ 的上方时， $△ O A Q$ 面积的最大值为 $\frac{9}{2}$

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7、下列函数中，在定义域内既为奇函数，又为增函数的是（）

A、 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ B、 $f (x) = |x| (x + 2)$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ D、 $f (x) = ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

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8、如图，已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过原点的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A, B$ 两点， $A$ 在第一象限，延长 $A F$ 交 $E$ 于多一点 $C$ ，若 $B F ⊥ A C$ 且 $|A C| = 4 |A F|$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$

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9、设函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，若 $x_{1} x_{2} < 0$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $|x_{2} - x_{1}|$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{π}{12}, + \infty)$ B、 $(\frac{π}{6}, + \infty)$ C、 $(\frac{π}{3}, + \infty)$ D、 $(\frac{π}{2}, + \infty)$

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10、某陶瓷厂上釉车间有 $A ､ B$ 两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检 $A$ 生产线的产品的概率为 $\frac{2}{3}$ ，抽检 $B$ 生产线的产品的概率为 $\frac{1}{3}$ .经过大量数据分析得 $A$ 生产线的次品率为 $12 %$ ，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为 $10 %$ ，据此估计B生产线的次品率为（）

A、 $9 %$ B、 $8.67 %$ C、 $8 %$ D、 $6 %$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 \times 3^{n - 1} + r$ （ $r$ 为常数），则“ $r = - \frac{2}{3}$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 为等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知函数 $f (x) = 2 f^{'} (2) x + 3 x^{2} - 2 ln x$ （ $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $1$ B、 $- 2$ C、 $11$ D、 $- 11$

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13、已知两个单位向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $\vec{e_{1}} \cdot (2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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14、已知 $i$ 为虚数单位， $z$ 为复数，则下列命题正确的是（）

A、若 $z^{2} + 1 = 0$ ，则 $z = i$ B、若 $z$ 的实部为0，则 $z$ 是纯虚数 C、若 $z = 2 + i$ ，则 $z$ 的虚部是 $i$ D、若 $z + 2 \bar{z} = 3 - 2 i$ ，则 $|z| = \sqrt{5}$

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15、已知集合 $A = \{x ∣ (x - 1) (x - 3) \leq 0\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 3\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{2, 3\}$

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16、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ 与函数 $g (x) = \frac{m x}{2 + x}$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线斜率相同.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、证明：当 $- 1 < x \leq 0$ 时， $f (x) \leq g (x)$ ；

(3)、设 $a$ 为正实数，讨论方程 $\frac{1}{2} g (x) - a f (x) = 0$ 的解的个数.

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17、甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙队获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y局比赛，求随机变量Y的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；

(2)、如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{x}, - 1 \leq x < 0 \\ x^{2} - 2 x, 0 \leq x \leq 3 \\ - 2 x + 9, 3 < x \leq 4 \end{cases}$

(1)、求 $f (3)$ ， $f (4)$ ， $f (f (1))$ 的值；

(2)、 $f (a) = 1$ ，求a的值；

(3)、请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数 $f (x)$ 的值域（无需写出理由）.

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19、2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，该班级所有同学均参加活动，且男女同学人数比为 $2 : 1$ ，每位同学选择一项活动参加.统计数据如下表：

长跑
短跑
男同学
a
10
女同学
10
10

(1)、求 $α$ 的值并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别相关；

(2)、赛后校记者团对参加长跑比赛的同学按性别采用分层随机抽样的方法抽取8名同学，再从这8名同学中抽取2名同学接受采访，记随机变量X表示抽到的2人中女生的人数，求X的布列与数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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20、已知 ${(\sqrt{x} - \frac{3}{x})}^{n}$ 的展开式中共有10项.

(1)、求展开式中各项系数之和；

(2)、求展开式中的常数项，并确定有理项有多少项.

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	分组	$[0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100]$
甲校	频数	3	4	18	15	10
乙校	频数	2	6	12	18	12

	甲校	乙校	合计
及格
不及格
合计

$α$	0.10	0.05	0.010
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635

	长跑	短跑
男同学	a	10
女同学	10	10

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828