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相关试卷

1、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\min \{a b, \frac{1}{a^{2} + 4 b^{2}}\}$ 的最大值是.（其中 $min \{a, b\}$ 表示a，b中的较小值）

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2、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (4, 2)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，则k的值可以是.（写出一个值即可）

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3、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $|A_{1} B_{1}| = 2 |A B| = 4$ ，球O内切于棱台，点P为侧面 $A_{1} A D D_{1}$ 上一点（含边界），则（）

A、球O的表面积为 $8 π$ B、三棱锥 $P - B C C_{1}$ 的外接球球心可能为O C、若直线 $D P ⊥$ 面 $P B_{1} C_{1}$ ，则 $|D P| = \frac{5}{3}$ D、平面 $P B C_{1}$ 与球O的截面面积最小值是 $π$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，且 $a_{1} \neq 0$ 向量 $\vec{a} = (a_{1}, S_{n + 1})$ ， $\vec{b} = (1, S_{n} + 1)$ ，对于任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在实数 $a_{1}$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 成等比数列 B、存在实数 $a_{1}$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 成等差数列 C、若 $a_{1} = - 1$ ，则 $|a_{n} - a_{n + 1}| = 2$ D、若 $a_{1} = 2$ ，则 $(a_{1} + 1) (a_{2} + 1) (a_{4} + 1) \dots (a_{2 n} + 1) = a_{2 n + 1} - 1$

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x + \frac{2}{3}) + f (- x + \frac{2}{3}) = 2 f (\frac{2}{3})$ B、方程 $f (x) = \frac{3}{2}$ 有3个解 C、当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) \in [1, 3]$ D、曲线 $y = f (x)$ 有且仅有一条过点 $(0, 1)$ 的切线

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6、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 恒大于0，对 $\forall x$ ， $y \in R$ ，都有 $f (x + 2 y) = 4 f (x) \cdot f^{2} (y)$ ，且 $f (1) = 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (0) = \frac{1}{2}$ B、 $f (x) \cdot f (- x) = f^{2} (0)$ C、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k)$ 是奇数 D、 $f (x)$ 有最小值

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7、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 是总体数据中抽取的样本，k为正整数，则称 $b_{k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{k}$ 为样本k阶中心矩，其中 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ 为样本均值.统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数——样本偏度 $β_{s} = \frac{b_{3}}{b_{2}^{\frac{3}{2}}}$ 来刻画偏离方向与程度.若将样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{100}$ 绘制柱形图如图所示，则（）

A、 $β_{s} < 0$ B、 $β_{s} = 0$ C、 $β_{s} > 0$ D、 $β_{s}$ 与0的大小关系不能确定

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8、如图，战国时期楚国标准度量衡器——木衡铜环权1954年出土于湖南长沙，“木衡”杆长27厘米，铜盘直径4厘米.“环权”类似于砝码，用于测量物体质量，九枚“环权”重量最小的为1铢，最大的为半斤（我国古代1两 $= 24$ 铢，1斤 $= 16$ 两），从小到大排列后前3项为等差数列，后7项为等比数列，公比为2，若铜盘一侧某物体为2两13铢，则另一侧需要放置的“环权”枚数为（）

A、2枚 B、3枚 C、4枚 D、5枚

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9、已知 $P$ ， $Q \in \{(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 2 |x|\}$ ，则 $|P Q|$ 的最大值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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10、“ $sin (x + \frac{π}{3}) = 0$ ”是“ $|\cos x| = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分必要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

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11、 $x^{2} {(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中的常数项是（）

A、224 B、448 C、560 D、 $- 280$

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12、已知集合 $A = \{x | 0 < {log}_{2} (x - 1) < 2\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 2 x > 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 3)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(3, 5)$

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13、已知在复平面内 $z (1 + i)$ 对应的点位于第二象限，则复数z可能是（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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14、若数列 $\{x_{n}\}$ 满足：存在等差数列 $\{c_{n}\}$ ，使得集合 $\{x_{n} + c_{n} ∣ n \in N^{*}\}$ 元素的个数为不大于 $k (k \in N^{*})$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 具有 $Q (k)$ 性质.

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 + \cos \frac{n π}{2} + \sin \frac{n π}{2} (n \in N^{*})$ .求证：数列 $\{a_{n} + \cos \frac{n π}{2}\}$ 是等差数列，且数列 $\{a_{n}\}$ 有 $Q (3)$ 性质；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 有 $Q (k_{1})$ 性质，数列 $\{b_{n}\}$ 有 $Q (k_{2})$ 性质，证明：数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 有 $Q (k_{1} k_{2})$ 性质；

(3)、记 $T_{n}$ 为数列 $\{f_{n}\}$ 的前n项和，若数列 $\{T_{n}\}$ 具有 $Q (k)$ 性质，是否存在 $m \in N^{*}$ ，使得数列 $\{f_{n}\}$ 具有 $Q (m)$ 性质？说明理由.

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15、过抛物线外一点 $P$ 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称 $△ P A B$ 为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点 $P$ 是圆 $Q : x^{2} + {(y + 5)}^{2} = 4$ 上的动点， $△ P A B$ 是抛物线 $Γ : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的阿基米德三角形， $F$ 是抛物线 $Γ$ 的焦点，且 $| P F |_{\min} = 6$ ．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；

(3)、设 $D$ 是“圆边形”的抛物线弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线 $l$ 交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明： $|A M| \cdot |B N| = |P M| \cdot |P N|$ ．

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16、某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 中的一个.
（1）记事件 $E_{n}$ ：一次性购买 $n$ 个甲系列盲盒后集齐玩偶 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 玩偶；事件 $F_{n}$ ：一次性购买 $n$ 个乙系列盲盒后集齐 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 玩偶；求概率 $P (E_{5})$ 及 $P (F_{4})$ ；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 $\frac{2}{3}$ ，购买乙系列的概率为 $\frac{1}{3}$ ；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 $\frac{1}{4}$ ，购买乙系列的概率为 $\frac{3}{4}$ ，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 $\frac{1}{2}$ ，购买乙系列的概率为 $\frac{1}{2}$ ；如此往复，记某人第 $n$ 次购买甲系列的概率为 $Q_{n}$ .
①求 $\{Q_{n}\}$ 的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为 $100$ ，且这 $100$ 人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.

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17、已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 如图所示，底面 $A B C D$ 为平行四边形，其中点 $D$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的投影为点 $A_{1}$ ，且 $A B = A A_{1} =$ $2 A D, ∠ A B C = 120^{°}$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、已知点 $E$ 在线段 $C_{1} D$ 上（不含端点位置），且平面 $A_{1} B E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{D E}{E C_{1}}$ 的值．

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - a \cos x - x (a \geq 0)$ ．
（1）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上的最值；
（2）当 $x \in (0, π]$ 时， $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{a^{4} + b^{4} + c^{4} + a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = 2 c^{2}$ ，若 $c$ 为最大边，则 $\frac{a + b}{c}$ 的取值范围是.

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20、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左，右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}, P$ 是椭圆C上第一象限内的一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ .过点 $P$ 作 $C$ 的切线 $l$ ，分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴交于 $A, B$ 两点， $O$ 为原点，当点 $P$ 在 $C$ 上移动时， $△ A O B$ 面积的最小值为.

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