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相关试卷

1、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{1}{2^{n} - 18} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的最大项为 $a_{6}$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 的最大项为 $a_{5}$ C、数列 $\{a_{n}\}$ 的最小项为 $a_{5}$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 的最小项为 $a_{4}$

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2、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列判断中正确的是（）

A、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积是 $\frac{1}{6}$ B、 $D P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ C、平面 $P B_{1} D$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的二面角为 $60 °$ D、异面直线 $A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的范围是 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$

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3、对于一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件A，B，C，其中 $n (Ω) = 24$ ， $n (A) = 12$ ， $n (B) = 4$ ， $n (C) = 8$ ， $n (A \cup B) = n (A \cup C) = 16$ ，则（）

A、事件A与B互斥 B、事件A与B相互独立 C、事件A与C互斥 D、事件A与C相互独立

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4、已知 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为双曲线上一点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - \frac{1}{2} c^{2}$ .则此双曲线离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2}]$ B、 $(1, 2]$ C、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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5、已知点 $A (0, 1, 1)$ ， $B (1, 0, 2)$ ， $C (1, - 2, 3)$ ， $D (- 1, - 2, 1)$ ，则直线 $A B$ ， $C D$ 的位置关系是（）

A、平行 B、相交 C、重合 D、异面

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6、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + m x + 4 y - 11 = 0 (m \in R)$ 的公共弦所在直线与直线 $l$ ： $2 x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、8 D、 $- 8$

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7、小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（）

A、 $\frac{11}{144}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{11}{72}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8、如图，圆台 $O O_{1}$ 的上底面半径为 $O_{1} A_{1} = 1$ ，下底面半径为 $O A = 2$ ，母线长 $A A_{1} = 2$ ，过 $O A$ 的中点B作 $O A$ 的垂线交圆O于点C，则异面直线 $O O_{1}$ 与 $A_{1} C$ 所成角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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9、图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）
图一图二图三

A、 $2^{n} - 1; n$ B、 $2^{n} - 1; n + 1$ C、 $2^{n - 1} - 1; n$ D、 $2^{n + 1} - 1; n + 1$

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10、已知方程 $\frac{x^{2}}{k + 2} + \frac{y^{2}}{2 - k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$

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11、在锐角 $△ A B C$ 中，记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $2 b cos A = a cos C + c cos A$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的所在平面内一点，且满足 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ．

(1)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $|A O|$ 的值；

(2)、在（1）条件下，求 $|3 \vec{O A} + 2 \vec{O B} + \vec{O C}|$ 的最小值；

(3)、若 $\vec{A O} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求 $x + y$ 的取值范围．

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $△ P A B$ 是边长为1的正三角形，且 $∠ P B C = ∠ P A D = \frac{π}{2}, E, F$ 分别是棱 $P D, P C$ 上的动点， $H$ 为 $A B$ 中点．

(1)、若 $E$ 为 $P D$ 中点，证明： $A E$ ∥面 $P H C$

(2)、求 $A E + E F + B F$ 的最小值

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $2 a \sin C - \sqrt{3} c = 0$

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ 且 $a \leq b$ ，求 $b - \frac{c}{2}$ 的取值范围．

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14、如图，在几何体 $A B C D F E$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $D C = 2 A B, G C = 2 F G$ ，平面 $A B E F \cap$ 平面 $C D E F = E F$

(1)、证明： $A F$ $/ /$ 平面 $B D G$

(2)、证明： $A B / / E F$

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15、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $S$ ，且 $S = \frac{a b c}{4}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆的半径；

(2)、若 $b + c = 2$ ，且 $B C$ 边上的高 $h = \frac{1}{2}$ ，求角 $A$ ．

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16、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是不共线的两个非零向量．

(1)、若 $\vec{O A} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{O B} = 2 \vec{a} - \vec{b}, \vec{O C} = 5 \vec{a} - 10 \vec{b}$ ，求证： $A, B, C$ 三点共线；

(2)、若 $3 \vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\frac{1}{3} \vec{a} + 2 \vec{b}$ 平行，求实数 $k$ 的值．

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17、已知 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，若 $△ A B C$ 在平面内一点 $D$ 满足 $3 \vec{D B} + 3 \vec{D C} + \vec{D A} = \vec{0}$ ，则 $\vec{D B} \cdot \vec{D C}$ 的最大值为

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18、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为1的正方形，如图所示，点 $E$ 是棱 $P D$ 上一点， $P E = \frac{3}{5} P D$ ，若 $\vec{P F} = λ \vec{P C}$ 且满足 $B F / /$ 平面 $A C E$ ，则 $λ =$

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19、如图，甲乙两人做游戏，甲在 $A$ 处发现乙在北偏东 $45 °$ 方向，相距6百米的 $B$ 处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东 $75 °$ 方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东 $(45 ° + α)$ 方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要分钟．

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20、已知一个球的半径是 $2cm$ ，则它的表面积是 ${cm}^{2}$ ．

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