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相关试卷

1、欧拉公式 $e^{i θ} = cos θ + isin θ$ 把自然对数的底数 $e$ ､虚数单位 $i$ ､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数 $z$ 满足 $z \cdot e^{i \frac{π}{3}} = 2$ ，则 $|z - e^{i θ}|$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 9]$ B、 $[1, 3]$ C、 $[1, 5]$ D、 $[3, 5]$

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2、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $|\vec{A O}| = |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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3、设 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 为复数，下列命题一定成立的是（）

A、如果 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，那么 $z_{1} = z_{2} = 0$ B、如果 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，那么 $z_{1} = \pm z_{2}$ C、如果 $|z_{1}| \leq a$ ， $a$ 是正实数，那么 $- a \leq z_{1} \leq a$ D、如果 $z = \bar{z}$ ，那么 $z$ 为实数

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4、2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（）

A、 $x = 88, y = 90$ B、 $x = 83, y = 90$ C、 $x = 83, y = 85$ D、 $x = 88, y = 85$

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5、样本中共有 $5$ 个个体，其值分别为 $a$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ ，若该样本的中位数为 $2$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[1, 2]$

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6、已知 $α, β$ 是两个不同的平面， $m, n$ 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）

A、若 $m$ 上有两点到平面 $α$ 距离相等，则 $m$ $/ /$ $α$ B、若 $α$ $/ /$ $β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m$ 与 $n$ 是异面直线 C、若 $α$ $/ /$ $β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m$ 与 $n$ 没有公共点 D、若 $α \cap β = n, m \subset α$ ，则 $m$ 与 $β$ 一定相交

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7、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ C、 $\vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ D、 $- \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$

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8、设 $z = 2 - i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、1 B、-1 C、 $- i$ D、 $i$

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9、一个质点在随机外力的作用下，从平面直角坐标系的原点 $O$ 出发，每隔1秒等可能地向上､向下､向左或向右移动一个单位.

(1)、共移动两次，求质点与原点距离的分布列和数学期望；

(2)、分别求移动4次和移动6次质点回到原点的概率；

(3)、若共移动 $N$ 次（ $N$ 大于0，且 $N$ 为偶数），求证：质点回到原点的概率为 ${(C_{N}^{\frac{N}{2}} \times \frac{1}{2^{N}})}^{2}$ .

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10、已知 $M (- \sqrt{3}, 0), N (\sqrt{3}, 0)$ ，平面内动点 $P$ 满足直线 $P M, P N$ 的斜率之积为 $- \frac{2}{3}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $F (1, 0)$ 的直线交 $P$ 的轨迹 $E$ 于 $A, B$ 两点，以 $O A, O B$ 为邻边作平行四边形 $O A C B$ （ $O$ 为坐标原点），若 $C$ 恰为轨迹 $E$ 上一点，求四边形 $O A C B$ 的面积.

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11、如图所示，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M, N$ 分别为棱 $A_{1} B_{1}, C C_{1}$ 的中点， $E, F$ 分别是棱 $A A_{1}, B B_{1}$ 上的点， $A_{1} E = B F = \frac{1}{3} A A_{1}$ .

(1)、求证：直线 $M N$ $∥$ 平面 $C E F$ ；

(2)、若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为正三棱柱，求平面 $C E F$ 和平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角的大小.

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(sin A - \sqrt{3} sin B) a = (c - b) (sin C + sin B)$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若边 $c = 2$ ，边 $A B$ 的中点为 $D$ ，求中线 $C D$ 长的最大值.

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13、下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第 $n$ 个数从上到下形成以 $2^{n - 1}$ 为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第 $n$ 行 $(n \in N^{*})$ 所有数据的和 $S_{n} =$ .

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14、抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上的动点 $P$ 到直线 $y = x + 3$ 的距离最短时， $P$ 到 $C$ 的焦点距离为.

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15、已知 ${(x^{3} - x + 1)}^{n} {(x + \frac{1}{x})}^{n + 2}$ 的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为.

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 x - 2, g (x) = 2 ln x + x - 2$ 的零点分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，则（）

A、 $2 x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $x_{1} x_{2} = e^{x_{1}} + ln x_{2}$ C、 $x_{1} + x_{2} > \frac{4}{3}$ D、 $2 x_{1} x_{2} < \sqrt{e}$

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17、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是（）

A、 $ω$ 的范围是 $[\frac{5}{3}, \frac{8}{3})$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{12})$ 上单调递增 C、 $x = \frac{π}{4}$ 不可能是函数 $y = f (x)$ 的图像的一条对称轴 D、 $f (x)$ 的最小正周期可能为 $\frac{π}{2}$

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18、已知五个数据 $5, 5, 10, 10, a$ 的 $80 %$ 分位数为15，则这组数据（）

A、平均数为9 B、众数为10 C、中位数为10 D、方差为30

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19、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $a sin 2 x \geq 2 sin \frac{x}{2} \sqrt{1 - sin x}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $[0, \sqrt{2} - 1]$ C、 $[\sqrt{2} - 1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$

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20、已知首项为2的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $4 a_{n + 1} - 5 a_{n + 1} a_{n} - 2 a_{n} = 2$ ，当 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} \geq 16$ 时，则 $n$ 的最小值为（）

A、40 B、41 C、42 D、43

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