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相关试卷

1、已知 $A, B$ 是两个随机事件，且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1, P (A B) = P (A \bar{B}) = P (\bar{A} B) = P (\bar{A} \bar{B})$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $P (A) = P (B)$ B、 $P (A ∣ B) = P (A ∣ \bar{B})$ C、事件 $A, B$ 相互独立 D、 $P (A + B) = 1$

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2、若曲线 $y = x e^{a - x} + b x$ 在 $x = 2$ 处的切线方程为 $y = (e - 1) x + 4$ ，则（）

A、 $a = 3, b = 1$ B、 $a = 3, b = - 1$ C、 $a = 2, b = - e$ D、 $a = 2, b = e$

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3、从三棱锥的6条棱中任选2条棱，则这2条棱所在的直线是异面直线的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4、已知空间中三条不同的直线 $a, b, c$ 和平面 $α$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ∥ α, b ∥ α$ ，则 $a ∥ b$ B、若 $a ⊥ α, b ⊥ α$ ，则 $a ∥ b$ C、若 $a ⊥ c, b ⊥ c$ ，则 $a ∥ b$ D、若 $a ∥ α, b \subset α$ ，则 $a ∥ b$

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5、已知正项数列 $\{a_{n}\}, n \in \{1, 2, 3, \dots, 7\}$ ．若该数列的前3项成等差数列，后5项成等比数列，且 $a_{1} = 1, a_{5} = 12, a_{7} = 48$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 所有项的和为（）

A、98 B、92 C、96 D、100

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6、在 ${(x + \frac{2}{x})}^{3}$ 的展开式中， $x$ 的系数为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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7、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 4 x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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8、已知集合 $A = \{x |x - 2 \leq 1\}, B = \{x |- 2 < x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |x \leq 4\}$ B、 $\{x |3 \leq x \leq 4\}$ C、 $\{x |- 2 < x \leq 3\}$ D、 $\{x |- 2 < x \leq 4\}$

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9、已知 $P$ 是抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上任意一点，且 $P$ 到 $C_{1}$ 的焦点 $F$ 的最短距离为 $\frac{3}{2}$ .直线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点，与抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 x$ 交于 $C (x_{3}, y_{3}), D (x_{4}, y_{4})$ 两点，其中点 $A, C$ 在第一象限，点 $B, D$ 在第四象限.

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的方程.

(2)、证明： $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{3}} + \frac{1}{y_{4}}$

(3)、设 $△ A O B, △ C O D$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点，若 $|A C| = 3 |B D|$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ .

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10、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - k (x - 1), k \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $k > 0$ ，存在 $x \in R$ ，使得 $k f (x) < e^{k + a}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；

(2)、若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.

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12、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A A_{1} = 6. A B = B C = 3, \vec{A D} = λ \vec{A C} (0 < λ < 1)$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，证明： $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ .

(2)、若 $A B ⊥ B C$ ，且 $λ = \frac{1}{3}$ ，求平面 $B B_{1} C$ 与平面 $A_{1} B D$ 夹角的余弦值.

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13、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{1} = 4$ ，且 $a_{5} - 4, a_{5}, a_{5} + 6$ 成等比数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{b_{n} - b_{n + 1}}{b_{n} b_{n + 1}} = a_{n}$ ，且 $b_{1} = \frac{1}{2}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作一条渐近线的垂线交双曲线 $C$ 的左支于点 $P$ ，已知 $\frac{|P F_{1}|}{|P F_{2}|} = \frac{2}{5}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为．

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a, b, c$ 成等比数列，且 $b = a cos C + \sqrt{3} c sin A$ ，则 $A =$ ， $\frac{b \sin B}{c} =$ ．

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16、已知向量 $\vec{a} = (3, 5), \vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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17、已知非常数函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) f (y) = f (x y) + x y (x + y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) = - 2$ 或 $f (1) = 1$ C、 $\frac{f (x)}{x}$ 是 $\{x |x \in R 且 x \neq 0\}$ 上的增函数 D、 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数

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18、在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{2}, A B = 2, B C = 3, E$ 为 $A C$ 的中点，点 $F$ 在线段 $B C$ 上，且 $C F = 2 B F$ ，将 $△ A B C$ 以直线 $B C$ 为轴顺时针转一周围成一个圆锥， $D$ 为底面圆上一点，满足 $\overset{⌢}{A D} = π$ ，则（）

A、 $B A ⊥ B D$ B、 $\vec{F E}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量是 $\frac{1}{2} \vec{B A}$ C、直线 $E F$ 与直线 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{6 \sqrt{65}}{65}$ D、直线 $E F$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{4 \sqrt{110}}{55}$

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19、已知函数 $f (x) = sin (2 x + 2 φ) (0 < φ < \frac{π}{2}), f (\frac{π}{12} - x) = f (\frac{π}{12} + x)$ ，则（）

A、 $f (0) = \frac{1}{2}$ B、 $f (\frac{π}{3} - x) = - f (\frac{π}{3} + x)$ C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后关于 $y$ 轴对称

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20、甲、乙等6人去 $A, B, C$ 三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（）

A、342 B、390 C、402 D、462

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