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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $A, B, C$ ，若 $c = 2$ ，且 $\sin^{2} A - \sin A \sin B = \cos^{2} B - \cos^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 周长的最大值为.

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2、有一个底面边长分别为 $3, 4, 5$ 的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为.

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3、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2, |\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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4、若复数 $z$ 满足 $(1 + \sqrt{3} i) \cdot z = 1$ ，则复数 $z$ 的虚部为.

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5、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动时（包括 $B ､ C_{1}$ 点），下列命题正确的是（）

A、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积不变 B、直线 $A D$ 一定与平面 $P A_{1} D_{1}$ 平行 C、直线 $C_{1} D_{1}$ 与 $P A_{1}$ 夹角余弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}]$ D、当 $C_{1} B = 3 B P$ 时，二面角 $P - A_{1} D_{1} - C_{1}$ 的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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6、 $△ A B C$ 中角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $c = 4, B = 30^{\circ}$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 有一个解 B、若 $△ A B C$ 有两个解，则 $a$ 有可能等于 $3 \sqrt{3}$ C、若 $△ A B C$ 为等腰三角形，则 $b = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 或4 D、若 $△ A B C$ 为直角三角形，则 $b$ 一定为2

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7、在 $△ A B C$ 中， $A B = 6, A C = 4$ ，且 $∠ B A C = \frac{π}{3} . D$ 是 $B C$ 边上一点，且 $\vec{A D} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|})$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $- \frac{24 + 12 \sqrt{3}}{5}$ B、6 C、 $- \frac{36}{5}$ D、0

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8、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点，过点 $D_{1}, E, F$ 的平面截该正方体所得的截面是（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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9、若样本数据： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数是62.3，方差为16，则对于样本数据： $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{n} - 1$ ，下列结论正确的是（）

A、平均数是124.6，方差为64 B、平均数是124.6，标准差为32 C、平均数是123.6，方差为32 D、平均数是123.6，标准差为8

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10、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ，且 $n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $m \subset α, m$ $∥$ $β, α \cap β = n$ ，则 $m$ $∥$ $n$ C、若 $m \subset α, n \subset β, m$ $∥$ $β, n$ $∥$ $α$ ，则 $α$ $∥$ $β$ D、若 $m$ $∥$ $α, n$ $∥$ $β, α$ $∥$ $β$ ，则 $m$ $∥$ $n$

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11、关于事件 $A$ 和事件 $B$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $A$ 与 $B$ 互为互斥事件，则 $P (A) = 1 - P (B)$ B、若 $A \subseteq \bar{B}$ ，则 $A$ 与 $B$ 互斥 C、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ D、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A B) = P (A) P (B)$

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12、已知平面向量 $\vec{A B} = (2, 6)$ ，且 $\vec{A B} = 2 \vec{C D}$ ，已知 $D$ 点坐标为 $(1, 2)$ ，则 $C$ 点坐标为（）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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13、周明同学本学期的8次数学测验成绩为： $65, 78, 63, 69, 87, 90, 86, 88$ .则这8次成绩的第80百分位数为（）

A、86 B、88 C、90 D、87.5

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14、已知 $z_{1} = 2 + i, z_{2} = 1 - 2 i$ ，则复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、二次函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3}{4}$ ，且满足 $f (2 - x) = f (x - 2)$ ， $f (1) = - \frac{1}{4}$ ，函数 $g (x) = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若存在 $x_{0} \in [- 1, 1]$ ，使得 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ ，且 $f (x) - g (x)$ 的所有零点构成的集合为 $M$ ，证明： $M \subseteq [- 1, 1]$ ．

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16、已知函数 $f (x) = a (e^{x} - 1) + e^{- x}$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性（不必给出证明）；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(3)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty, 0)$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0$ ，求 $e^{2 x_{1}} + e^{2 x_{2}}$ 的取值范围．

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17、如图，在扇形 $O P Q$ 中，半径 $O P = 1$ ，圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ ， $A$ 是扇形弧上的动点，过 $A$ 作 $O P$ 的平行线交 $O Q$ 于 $B$ ．记 $∠ A O P = α$ ．

(1)、求 $A B$ 的长（用 $α$ 表示）；

(2)、求 $△ O A B$ 面积的最大值，并求此时角 $α$ 的大小．

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18、已知函数 $f (x) = \cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2} + \sin x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期与对称轴方程；

(2)、当 $x_{0} \in (0, π)$ 且 $f (x_{0}) = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ 时，求 $f (x_{0} + \frac{π}{6})$ 的值．

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $|\vec{b}| = 2 \sqrt{5}$ ．

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $(- 5 \vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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20、计算下列各式的值：

(1)、 $\log_{3} 2 + \log_{3} 5 - 2 \log_{3} \sqrt{10} + 2^{\log_{2} 3}$ ；

(2)、 $\frac{1 - 64^{- x}}{1 + 8^{- x}} + (1 - 2^{x}) (1 + 2^{x} + 4^{x}) + {(8^{\frac{x}{2}} + 8^{- \frac{x}{2}})}^{2}$ ．

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