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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, M$ 为棱 $D C$ 的中点， $N$ 为侧面 $B C_{1}$ 的中心，过点 $M$ 的平面 $α$ 垂直于 $D N$ ，则平面 $α$ 截正方体 $A C_{1}$ 所得的截面面积为（）

A、 $12 \sqrt{6}$ B、 $10 \sqrt{6}$ C、 $8 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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2、设 $z$ 为复数，若 $|z + 2 i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最小值为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、0 B、8 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4、弹簧挂着的小球作上下运动，它在 $t$ 秒时相对于平衡位置的高度 $h$ 厘米的关系可用函数 $h = A sin ω t$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ）来确定，其图象如图所示，则 $ω$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5、将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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6、下列说法中，正确的是（）

A、底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B、一个多面体至少有4个面 C、有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D、用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

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7、要得到函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{2}{3})$ ， $x \in R$ 的图象，只需将函数 $g (x) = \sin 2 x$ ， $x \in R$ 的图象（）

A、横坐标向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，纵坐标不变 B、横坐标向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，纵坐标不变 C、横坐标向右平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度，纵坐标不变 D、横坐标向左平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度，纵坐标不变

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8、为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三所中学抽取130名学生进行调查，已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三所学校中分别400，560，340名学生，则从 $C$ 学校中应抽取的人数为（）

A、34 B、40 C、56 D、68

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9、已知函数 $f (x) = ln x + \frac{n}{x} - m (m, n \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若 $n > 0$ 且 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $e^{m - 1} - n + 1$ 的最大值；

(3)、在（2）的条件下，且 $e^{m - 1} - n + 1$ 取得最大值时，设 $F (n) = \frac{m - 1}{n} - t (t \in R)$ ，且函数 $F (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，求实数 $t$ 的取值范围，并证明： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ .

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10、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于技术原因，每次传输信号的准确率为 $90 %$ ，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1，现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点 $n$ .

(1)、若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率；

(2)、为确保信号传输的有效性，要求节点 $n$ 收到信号的准确率不低于 $60 %$ ，求 $n$ 的最大值.参考数据： $lg 2 \approx 0.3010$ .

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A = A B$ 且 $P A ⊥ A B, E$ 为线段 $P B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的动点， $\vec{B F} = λ \vec{B C} (0 \leq λ \leq 1)$ .

(1)、证明： $A E ⊥ P C$ ；

(2)、求实数 $λ$ 的值，使得平面 $A E F$ 与平面 $P D C$ 所成锐二面角的平面角的正弦值最小.

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12、2024年3月28日，小米集团在北京举行主题为“向前”的小米汽车上市发布会，正式发布小米SU7.在发布会上，小米集团创始人､董事长兼CEO雷军表示：“这是小米SU7第一次正式亮相，这个时代的梦想之车必须要有最先进的智能科技和最出色的驾驶质感”.小米汽车首款产品的推出引起了购车者的热议，为了了解购车者对该款汽车的购买意愿与年龄是否具有相关性，在某购车市场随机抽取了100名中青年购车意向者进行调查，现定义小于45周岁的为青年，大于等于45周岁小于60周岁的为中年，所得数据统计如下表所示：
年龄段
购车意愿
愿意购买SU7
不愿购买SU7
青年
45
15
60
中年
15
25
40
合计
60
40
100

(1)、请根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析购车意向者对小米SU7的购买意愿与年龄段是否有关；

(2)、在以上随机抽取不愿购买的调查者中，按年龄比例分层抽样抽取8名，然后在被抽取的8名中再随机抽取5名进行面对面访谈.设面对面访谈中的青年人数为随机变量 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.（参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .）
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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13、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $B C$ 边的中线 $A D = \frac{\sqrt{21}}{6} a$ ，且 $△ A B C$ 面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $b + c$ 的值.

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14、已知 $e^{x} + sin x \geq a x + 1$ 对任意 $x \in [0, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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15、2024年3月14日是第十九届世界肾脏日.某社区服务站将从5位志愿者中选3人到两个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“全民肾脏健康”，其中1人去 $A$ 社区，2人去B社区，则不同的分配方案有种（用数字作答）.

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16、边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $M, N$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N} =$ .

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17、有 $n (n \in N^{*}, n \geq 10)$ 个编号分别为 $1, 2, 3, \dots, n$ 的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子； $\dots$ ；以此类推，记“从 $i$ 号盒子取出的球是白球”为事件 $A_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，则（）

A、 $P (A_{1} A_{2}) = \frac{3}{5}$ B、 $P (A_{1} ∣ A_{2}) = \frac{3}{7}$ C、 $P (\bar{A_{1}} + A_{2}) = \frac{13}{15}$ D、 $P (A_{n}) < P (\bar{A_{n}})$

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18、如图所示，已知角 $α, β (0 < α < β < \frac{π}{2})$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 $A, B, M$ 为线段 $A B$ 的中点，射线 $O M$ 与单位圆交于点 $C$ ，则（）

A、 $∠ A O C = \frac{β - α}{2}$ B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = cos \frac{β - α}{2}$ C、当 $△ A O B$ 面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 时，点 $M$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 上运动 D、点 $M$ 的坐标为 $(cos \frac{α + β}{2} cos \frac{β - α}{2}, sin \frac{α + β}{2} cos \frac{β - α}{2})$

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19、下列说法正确的是（）

A、已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B、正态曲线当 $μ$ 一定时， $σ$ 越小，正态曲线越“瘦高”； $σ$ 越大，正态曲线越“矮胖” C、在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数 $R^{2}$ 的值越大，说明拟合的效果越好 D、对于独立性检验，随机变量 $χ^{2}$ 的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

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20、若曲线 $f (x) = e^{x} + x$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线方程为 $y = k x + b$ ，则 $k + b$ 的最大值为（）

A、 $e^{2} + 1$ B、 $e^{2} - 1$ C、 $e + 1$ D、 $e - 1$

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年龄段	购车意愿
年龄段	愿意购买SU7	不愿购买SU7
青年	45	15	60
中年	15	25	40
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828