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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 3 sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} cos 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{7 π}{12}, 0]$ 上的值域.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P C$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A C E$ .

(2)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A C E$ .

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + k \vec{b}) = - 2$ ，求 $k$ 的值.

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4、 $A$ 是直线 $P Q$ 外一点，点 $M$ 在直线 $P Q$ 上（点 $M$ 与 $P$ ， $Q$ 两点均不重合），我们称如下操作为“由 $A$ 点对 $P Q$ 施以视角运算”：若点 $M$ 在线段 $P Q$ 外，记 $(P, Q; M) = - \frac{|A P| \sin ∠ P A M}{|A Q| \sin ∠ M A Q}$ .已知点 $M$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B$ 的延长线上，且 $A B = 2 B M = 2$ ，由 $A_{1}$ 对 $A B$ 施以视角运算，则 $(A, B; M) =$ .

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5、某数学兴趣小组成员为了测量 $A$ ， $B$ 两地之间的距离，在同一水平面上选取 $C$ 地，测得 $A$ 在 $C$ 的东偏北75°方向上，且距离 $C$ 地3千米，测得 $B$ 在 $C$ 的北偏东75°方向上，且距离 $C$ 地2千米，则 $A$ ， $B$ 两地之间的距离是千米.

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6、如图所示，一个水平放置的四边形 $O A B C$ 的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则原四边形 $O A B C$ 的面积是.

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7、已知三棱锥 $P - A B C$ 的底面 $A B C$ 是直角三角形， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = A C = 2$ ，则（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $12 π$ B、三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $48 π$ C、三棱锥 $P - A B C$ 内切球的半径为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 内切球的半径为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{9}$

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8、已知函数 $f (x) = A \cos (2 x + φ)$ （ $A > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $A = 2$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 D、不等式 $f (x) > 1$ 的解集是 $(k π - \frac{π}{12}, k π + \frac{π}{4})$ （ $k \in Z$ ）

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 3$ ， $b = 2$ ， $\cos B = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $A$ 的值可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、已知 $A$ ， $B$ 是函数 $f (x) = 2 \sin 2 ω x - 1$ （ $ω > 0$ ）图象与 $x$ 轴的两个相邻的交点，若 $|A B| = \frac{π}{12}$ ，则 $ω =$ （）

A、4 B、8 C、4或8 D、8或16

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11、正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星 $A B C D E$ 中， $A B = 6$ ， $O$ 是该正五角星的中心，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $- 18$ B、 $- 12$ C、12 D、18

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12、小明在手工课上用硬纸板做了一个圆锥形容器，若该圆锥形容器的轴截面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 分米的等边三角形，忽略硬纸板的厚度，则该圆锥形容器的容积是（）

A、 $3 π$ 立方分米 B、 $6 π$ 立方分米 C、 $9 π$ 立方分米 D、 $12 π$ 立方分米

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13、已知 $\sin (α + 3 π) + 2 \cos α = 0$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $- 2$

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14、已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n // α$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α // β$ C、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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15、要得到函数 $y = sin (3 x + \frac{3 π}{4})$ 的图象，只需要将函数 $y = \sin 3 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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16、下列说法正确的是（）

A、有两个平面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B、底面是正六边形的棱锥是正六棱锥 C、棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D、绕直角梯形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆台

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 5), \vec{b} = (m, 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、10 B、 $- 10$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $- \frac{8}{5}$

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{\sin^{2} A - \sin A \sin B}{\cos^{2} B - \cos^{2} C} = 1$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ， $a + b = \sqrt{6}$ ，求边 $A B$ 上的角平分线 $C D$ 长；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，点 $F$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $C F = 6$ ，求 $\frac{\sqrt{3} C F - A F}{B F}$ 的取值范围.

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19、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的下底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形 $△ A B C$ ， $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2 B B_{1} = 2$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点B到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离；

(3)、若P为BC的中点，Q为 $C C_{1}$ 的中点，点F在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内，且 $A_{1} F //$ 平面APQ，当 $△ B C F$ 的面积最小时，求平面ACF与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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20、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别满足 $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P A}$ ， $\vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B D}$ .

(1)、求证： $M N ⊥ A D$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $B D M$ 所成角的正弦值.

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