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相关试卷

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列．若 $a_{1} > a_{2}$ ， $b_{1} > b_{2}$ ，且 $b_{i} = a_{i}^{2}$ （ $i = 1$ ， $2$ ， $3$ ），则数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{4}, a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n > 1)$ ，则 $a_{2022} =$ .

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3、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \{\begin{matrix} \frac{1}{n + 1}, 1 \leq n \leq 2 \\ \frac{1}{3^{n}}, n \geq 3 \end{matrix}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\underset{n \to \infty}{l i m} S_{n} =$

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 2)}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} =$ .

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5、等差数列 $\{a_{n}\} ､ \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ､ T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n}{3 n + 1}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} =$ .

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6、各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} ､ \frac{1}{2} a_{3} ､ a_{1}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{5} + a_{6}}{a_{3} + a_{4}} =$ .

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7、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = - 10$ ，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是．

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8、 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{9} = - 36, S_{13} = - 104$ ，则 $a_{5}$ 与 $a_{7}$ 的等比中项为.

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9、设数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列.若 $a_{4}$ 和 $a_{2019}$ 是方程 $4 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ 的两根，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前2022项的和 $S_{2022} =$ .

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{n}{n^{2} + 6}, n$ 为正整数，则该数列的最大项是第项.

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + n$ ，则 $a_{3} =$ .

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12、二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号0，1来表示数.如果十进制中的整数 $n = a_{k} \cdot 2^{k} + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + \dots + a_{1} \cdot 2 + a_{0} (a_{i} \in {0, 1}, i = 0, 1, \dots, k)$ ，则这个数在二进制下记为 $a_{k} a_{k - 1} \dots a_{1} a_{0}$ ，即 ${(n)}_{10} = {(a_{k} a_{k - 1} \dots a_{1} a_{0})}_{2}$ .记十进制下的整数n在二进制表示下的各位数字之和为 $φ (n)$ ，即 $φ (n) = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{k}$ .

(1)、计算 $φ (7)$ ；

(2)、证明： $φ (4 n + 3) = φ (2 n + 1) + 1$ ；

(3)、求数列 $\{φ (3 \cdot 2^{n} - 1)\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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13、已知直线 $l : x = 2$ 经过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点F且被椭圆C截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若过点 $P (4, 0)$ 的动直线m与椭圆C相交于A，B两点，且直线l上的点M满足 $\vec{A M} // \vec{F P}$ ，求证：直线 $M B$ 过定点，并求该定点的坐标.

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14、如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C ⊥$ 侧面 $A A_{1} B_{1} B$ ，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 是菱形， $∠ B A A_{1} = 60 °$ ， $A B = 2 B C = 2$ ，点E是棱 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B_{1} C - E$ 的余弦值.

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15、某市为了解车主用车的能源类型与对该市交通拥堵感受的关系，共调查了100名车主，并得到如下的 $2 \times 2$ 列联表：

觉得交通拥堵
觉得交通不拥堵
合计
燃油车车主
30
20
50
新能源车车主
25
25
50
合计
55
45
100

(1)、将频率估计为概率，从该市燃油车和新能源车车主中随机抽取1名，记“抽取到燃油车车主”为事件 $A_{1}$ ， “抽取到新能源车车主”为事件 $A_{2}$ ， “抽取到的车主觉得交通拥堵”为事件 $B_{1}$ ， “抽取到的车主觉得交通不拥堵”为事件 $B_{2}$ ，计算 $P (B_{1} |A_{1})$ ， $P (B_{1} |A_{2})$ ，比较它们的大小，并说明其意义；

(2)、是否有 $90 %$ 的把握认为该市车主用车的能源类型与对该市交通拥堵的感受有关？将分析结果与（1）中结论进行比较，并作出解释.
附表及公式：
$α$
0.100
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
6.635
10.828
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

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16、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $x = 0$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点，求实数a的取值范围.

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17、已知 $a > 0$ 且 $x > 0$ 时，不等式 $a e^{2 x} - \ln (x + m) + \frac{1}{4 a} > 0$ 恒成立，则正数m的取值范围是.

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18、已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 9$ ，点N的坐标为 $(m, n)$ ，其中 $m, n \in {1, 2, 3}$ ，存在过点N的直线与双曲线C相交于A，B两点，且点N为弦 $A B$ 的中点，则点N的坐标是.（写出一个符合条件的答案即可）

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19、已知复数 $z$ 的实部为 $2$ ，且 $\frac{z}{2 + i}$ 为纯虚数，则复数 $z =$ .

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20、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，其所在平面为 $α$ ，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2 A A_{1} = 2$ .O是 $A C$ ， $B D$ 的交点，P是平面 $α$ 内的动点（图中未画出）.则下列说法正确的是（）

A、若 $C_{1} P = 2$ ，则动点P的轨迹长度为 $2 π$ B、若 $∠ O C_{1} P = 90 °$ ，则动点P的轨迹是一条直线 C、若 $O P = C_{1} P$ ，则动点P的轨迹是一条直线 D、若动点 $P$ 到直线 $O C_{1}$ 的距离为1，则 $P A + P C$ 为定值

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	觉得交通拥堵	觉得交通不拥堵	合计
燃油车车主	30	20	50
新能源车车主	25	25	50
合计	55	45	100

$α$	0.100	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	6.635	10.828